Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada.
Passo 1
O enunciado dá a integral iterada
e pede que eu esboce (desenhe/descrição) o sólido cujo volume é dado por essa integral. Informações explícitas que temos:
- A função que define a altura do sólido sobre o ponto
é . - Os limites internos são
indo de até . - Os limites externos são
indo de até .
O objetivo é: descrever e esboçar o sólido cuja base está no planoe cuja altura em cada é . (Ainda não vou resolver cálculo nem trocar ordem — só organizei os dados.)
Passo 2
Interpretação geométrica da integral (aula rápida):
- Uma integral dupla positiva como
representa o volume sob a superfície e acima da região no plano . - A integral iterada
significa: primeiro, para cada valor fixo de entre e , integro em de até ; depois somo esses resultados em . - Então a superfície teto é
e a base (projeção no plano ) é a região determinada pelos limites de integração.
Passo 3
Identificar a região
no plano
(a base do sólido):
- Das desigualdades dos limites temos
. - Isso é a região triangular com vértices
, e . - Em palavras: é o triângulo reto cuja hipotenusa é a reta
, com a vertical esquerda em e o topo em .
Como esboçar essa base no plano: desenhe os eixos e , marque , trace a reta entre e , e o segmento vertical entre e . A região é o triângulo entre essas três.
Passo 4
Entender a superfície teto
:
- A função
é a semicircunferência superior de raio centrada na origem no plano : a equação completa do círculo seria . - Para o nosso problema o domínio em
é de até (porque a base tem ), então estamos usando a metade direita da semicircunferência superior, isto é, varia de a quando vai de para . - Observação importante:
não depende de . Isso significa que, para um dado , a altura é a mesma para todos os na base com esse . Geometricamente, a superfície é gerada por uma curva em -plano (a semicircunferência) que é “esticada” na direção .
Passo 5
Combinar base e teto: descrição do sólido
- A base é o triângulo
. - O teto é
. - As outras faces que limitam o sólido são os planos verticais
, e , e a face inferior . - Para visualizar: para cada
fixo em , o sólido tem um segmento (paralelo ao eixo ) que vai de até (comprimento ), e a altura desse segmento é . Portanto o sólido é como uma “cobertura curvada” (a semicircunferência em ) estendida na direção , mas apenas sobre o triângulo em . - Cross-seções:
- Fatias com
fixo: retângulos de largura em igual a e altura em igual a . - Fatias com
fixo: segmentos em de a , com topo dado por .
- Fatias com
Passo 6
Trocar ordem de integração (útil para entender colunas em
e calcular volume): a região
também pode ser descrita como
Assim
Integrando em
primeiro (a integranda não depende de
):
Logo o volume
é
Passo 7
Calcular o volume passo a passo (a conta ajuda no esboço porque dá a medida total do sólido).
Separe a integral:
Separe a integral:
Chame
Passo 8
Calcular
e
com explicações:
-
é a área de um quarto do círculo de raio , porque é a área da semicircunferência superior e de a temos metade disso. Assim
(Explicando: área da circunferência inteira é
; semicircunferência é metade e o quarto é um quarto.)
- Para
, faça substituição . Então , logo . Quando temos ; quando temos . Assim
Integre
:
Como
, segue
Passo 9
Terminar o cálculo do volume:
Portanto o volume total do sólido é
.
Passo 10
Instruções práticas para esboçar (passo-a-passo de desenho, faça no papel):
- No plano
, desenhe o triângulo com vértices , e . Sombreie a região . - Em seguida, desenhe o eixo
para cima saindo do plano . - No plano
(projeção lateral), esboce a semicircunferência superior para (é uma curva que começa em e termina em ). - Para alguns valores de
(por exemplo ) marque a altura e faça segmentos paralelos ao eixo desde até . Esses retângulos ajudam a visualizar o volume: a superfície curva em cima e as faces verticais , e . - Contorne as arestas: a face superior curva
, a base no plano (o triângulo ), e as três faces verticais de contorno.
Pequena motivação final: pense nesse sólido como a semicircunferência em
que foi “esticada” ao longo do eixo
, mas só até
e começando em
— por isso a base é triangular e não retangular. Dá para desenhar à mão livre e fica bem claro visualmente.
Resposta
Sólido cuja base no plano
é o triângulo
, teto dado por
(semicircunferência superior de raio
para
), e faces verticais em
,
e
. Volume:
.