Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada.
\int_{0}^{3} \int_{0}^{y} \sqrt{9-x^{2}} d x d y

Passo 1

O enunciado dá a integral iterada
\int_{0}^{3}\int_{0}^{y} \sqrt{9-x^{2}}\,dx\,dy
e pede que eu esboce (desenhe/descrição) o sólido cujo volume é dado por essa integral. Informações explícitas que temos:
  • A função que define a altura do sólido sobre o ponto (x,y) é z=\sqrt{9-x^{2}}.
  • Os limites internos são x indo de 0 até y.
  • Os limites externos são y indo de 0 até 3.
    O objetivo é: descrever e esboçar o sólido cuja base está no plano xy e cuja altura em cada (x,y) é z=\sqrt{9-x^{2}}. (Ainda não vou resolver cálculo nem trocar ordem — só organizei os dados.)

Passo 2

Interpretação geométrica da integral (aula rápida):
  • Uma integral dupla positiva como \iint_{R} f(x,y)\,dA representa o volume sob a superfície z=f(x,y) e acima da região R no plano xy.
  • A integral iterada \int_{0}^{3}\int_{0}^{y} \sqrt{9-x^{2}}\,dx\,dy significa: primeiro, para cada valor fixo de y entre 0 e 3, integro em x de 0 até y; depois somo esses resultados em y.
  • Então a superfície teto é z=\sqrt{9-x^{2}} e a base (projeção no plano xy) é a região determinada pelos limites de integração.

Passo 3

Identificar a região R no plano xy (a base do sólido):
  • Das desigualdades dos limites temos 0\le x\le y\le 3.
  • Isso é a região triangular com vértices (0,0), (0,3) e (3,3).
  • Em palavras: é o triângulo reto cuja hipotenusa é a reta y=x, com a vertical esquerda em x=0 e o topo em y=3.
    Como esboçar essa base no plano xy: desenhe os eixos x e y, marque y=3, trace a reta y=x entre (0,0) e (3,3), e o segmento vertical x=0 entre (0,0) e (0,3). A região R é o triângulo entre essas três.

Passo 4

Entender a superfície teto z=\sqrt{9-x^{2}}:
  • A função z=\sqrt{9-x^{2}} é a semicircunferência superior de raio 3 centrada na origem no plano xz: a equação completa do círculo seria x^{2}+z^{2}=9.
  • Para o nosso problema o domínio em x é de 0 até 3 (porque a base tem x\ge0), então estamos usando a metade direita da semicircunferência superior, isto é, z varia de 0 a 3 quando x vai de 3 para 0.
  • Observação importante: z não depende de y. Isso significa que, para um dado x, a altura z é a mesma para todos os y na base com esse x. Geometricamente, a superfície é gerada por uma curva em xz-plano (a semicircunferência) que é “esticada” na direção y.

Passo 5

Combinar base e teto: descrição do sólido
  • A base é o triângulo R=\{(x,y):0\le x\le y\le 3\}.
  • O teto é z=\sqrt{9-x^{2}}.
  • As outras faces que limitam o sólido são os planos verticais x=0, y=3 e y=x, e a face inferior z=0.
  • Para visualizar: para cada x fixo em [0,3], o sólido tem um segmento (paralelo ao eixo y) que vai de y=x até y=3 (comprimento 3-x), e a altura desse segmento é z=\sqrt{9-x^{2}}. Portanto o sólido é como uma “cobertura curvada” (a semicircunferência em xz) estendida na direção y, mas apenas sobre o triângulo em xy.
  • Cross-seções:
    • Fatias com x fixo: retângulos de largura em y igual a 3-x e altura em z igual a \sqrt{9-x^{2}}.
    • Fatias com y fixo: segmentos em x de 0 a y, com topo dado por \sqrt{9-x^{2}}.

Passo 6

Trocar ordem de integração (útil para entender colunas em x e calcular volume): a região R também pode ser descrita como
\{(x,y):0\le x\le 3,\; x\le y\le 3\}.
Assim
\int_{0}^{3}\int_{0}^{y} \sqrt{9-x^{2}}\,dx\,dy = \int_{x=0}^{3}\int_{y=x}^{3} \sqrt{9-x^{2}}\,dy\,dx.
Integrando em y primeiro (a integranda não depende de y):
\int_{y=x}^{3} \sqrt{9-x^{2}}\,dy = (3-x)\sqrt{9-x^{2}}.
Logo o volume V é
V=\int_{0}^{3} (3-x)\sqrt{9-x^{2}}\,dx.

Passo 7

Calcular o volume passo a passo (a conta ajuda no esboço porque dá a medida total do sólido).
Separe a integral:
V=\int_{0}^{3} 3\sqrt{9-x^{2}}\,dx - \int_{0}^{3} x\sqrt{9-x^{2}}\,dx.
Chame
I_1=\int_{0}^{3} \sqrt{9-x^{2}}\,dx, \qquad I_2=\int_{0}^{3} x\sqrt{9-x^{2}}\,dx.

Passo 8

Calcular I_1 e I_2 com explicações:
  • I_1 é a área de um quarto do círculo de raio 3, porque \int_{-3}^{3}\sqrt{9-x^{2}}\,dx é a área da semicircunferência superior e de 0 a 3 temos metade disso. Assim
I_1=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\pi 3^{2}=\frac{9\pi}{4}.
(Explicando: área da circunferência inteira é \pi r^{2}=\pi 3^{2}; semicircunferência é metade e o quarto é um quarto.)
  • Para I_2, faça substituição u=9-x^{2}. Então du=-2x\,dx, logo x\,dx=-\tfrac{1}{2}du. Quando x=0 temos u=9; quando x=3 temos u=0. Assim
I_2=\int_{0}^{3} x\sqrt{9-x^{2}}\,dx = \int_{u=9}^{0} \sqrt{u}\left(-\tfrac{1}{2}\,du\right) = \tfrac{1}{2}\int_{0}^{9} u^{1/2}\,du.
Integre u^{1/2}:
\tfrac{1}{2}\left[\tfrac{2}{3}u^{3/2}\right]_{0}^{9}=\tfrac{1}{3}\cdot 9^{3/2}.
Como 9^{3/2}=(\sqrt{9})^{3}=3^{3}=27, segue
I_2=\tfrac{1}{3}\cdot 27=9.

Passo 9

Terminar o cálculo do volume:
V=3I_1 - I_2 = 3\cdot\frac{9\pi}{4} - 9 = \frac{27\pi}{4} - 9.
Portanto o volume total do sólido é \dfrac{27\pi}{4}-9.

Passo 10

Instruções práticas para esboçar (passo-a-passo de desenho, faça no papel):
  1. No plano xy, desenhe o triângulo com vértices (0,0), (0,3) e (3,3). Sombreie a região R.
  2. Em seguida, desenhe o eixo z para cima saindo do plano xy.
  3. No plano xz (projeção lateral), esboce a semicircunferência superior z=\sqrt{9-x^{2}} para 0\le x\le 3 (é uma curva que começa em (0,3) e termina em (3,0)).
  4. Para alguns valores de x (por exemplo x=0,1,2,3) marque a altura z=\sqrt{9-x^{2}} e faça segmentos paralelos ao eixo y desde y=x até y=3. Esses retângulos ajudam a visualizar o volume: a superfície curva em cima e as faces verticais y=x, y=3 e x=0.
  5. Contorne as arestas: a face superior curva z=\sqrt{9-x^{2}}, a base no plano z=0 (o triângulo R), e as três faces verticais de contorno.
Pequena motivação final: pense nesse sólido como a semicircunferência em xz que foi “esticada” ao longo do eixo y, mas só até y=3 e começando em y=x — por isso a base é triangular e não retangular. Dá para desenhar à mão livre e fica bem claro visualmente.

Resposta

Sólido cuja base no plano xy é o triângulo \{(x,y):0\le x\le y\le 3\}, teto dado por z=\sqrt{9-x^{2}} (semicircunferência superior de raio 3 para 0\le x\le3), e faces verticais em x=0, y=3 e y=x. Volume: \dfrac{27\pi}{4}-9.

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