Calcule a integral trocando a ordem de integração.
\int_{0}^{1} \int_{3 y}^{3} e^{x^{2}} d y d x

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • A integral dada é \displaystyle \int_{0}^{1}\int_{3y}^{3} e^{x^{2}}\,dx\,dy.
  • O que se pede: calcular essa integral trocando a ordem de integração (ou seja, integrar primeiro em y e depois em x), e obter o valor numérico final.

Passo 2

Entender a região de integração no plano (x,y).
  • As condições de integração são 0\le y\le 1 e 3y\le x\le 3.
  • Isso descreve a região D=\{(x,y)\mid 0\le y\le 1,\; 3y\le x\le 3\}.
  • Vamos identificar os vértices da região. Quando y=0 temos 0\le x\le 3, isto é pontos entre (0,0) e (3,0). Quando y=1 temos 3\le x\le 3, isto é o ponto (3,1). Assim os vértices são (0,0), (3,0), (3,1). A fronteira esquerda é a reta x=3y e a direita é x=3.

Passo 3

Determinar os novos limites ao trocar a ordem dy\,dx \mapsto dx\,dy (na verdade queremos dx\,dy originalmente, mas já temos \,dx\,dy; agora vamos integrar em y primeiro e depois em x).
  • Para trocar a ordem, fixe x e encontre os possíveis y. A desigualdade 3y\le x\le 3 e 0\le y\le1 implica, para um dado x, que 0\le y\le \min\!\left(1,\frac{x}{3}\right).
  • Como x varia entre 0 e 3 na região (porque o ponto mais à esquerda é x=0 e o mais à direita é x=3), para todo x\in[0,3] tem-se \dfrac{x}{3}\le 1. Portanto \min\!\left(1,\dfrac{x}{3}\right)=\dfrac{x}{3}.
  • Logo os limites trocados são 0\le x\le 3 e 0\le y\le \dfrac{x}{3}. Assim a integral com a ordem trocada é \int_{0}^{3}\int_{0}^{x/3} e^{x^{2}}\,dy\,dx.

Passo 4

Executar a integração em y (interna).
  • Observe que e^{x^{2}} é função de x apenas, logo, ao integrar em y, trata-se como constante: \int_{0}^{x/3} e^{x^{2}}\,dy = e^{x^{2}}\cdot\left(\frac{x}{3}-0\right)=\frac{x}{3}\,e^{x^{2}}.
  • Assim a integral dupla reduz-se à integral simples \int_{0}^{3} \frac{x}{3}\,e^{x^{2}}\,dx.

Passo 5

Calcular a integral simples usando substituição.
  • Considere a substituição \displaystyle u=x^{2}. Então \displaystyle du=2x\,dx, ou seja \displaystyle x\,dx=\frac{1}{2}\,du.
  • Quando x=0 tem-se u=0. Quando x=3 tem-se u=9.
  • A integral fica \int_{0}^{3} \frac{x}{3}\,e^{x^{2}}\,dx = \frac{1}{3}\int_{0}^{3} x\,e^{x^{2}}\,dx = \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\int_{0}^{9} e^{u}\,du = \frac{1}{6}\bigl[e^{u}\bigr]_{0}^{9}.
  • Avaliando, \frac{1}{6}\bigl(e^{9}-e^{0}\bigr)=\frac{1}{6}\bigl(e^{9}-1\bigr).

Passo 6

Interpretação final e incentivo rápido.
  • Pronto! A técnica principal foi desenhar a região, identificar corretamente os novos limites ao fixar x, e usar que a função depende só de x para simplificar a integração em y. A substituição u=x^{2} é o truque padrão para integrais do tipo x e^{x^{2}}. Vai dar certo na prova — respira fundo e confia no passo a passo.

Resposta

\dfrac{e^{9}-1}{6}

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