Calcule a integral trocando a ordem de integração.
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede.
- A integral dada é
. - O que se pede: calcular essa integral trocando a ordem de integração (ou seja, integrar primeiro em
e depois em ), e obter o valor numérico final.
Passo 2
Entender a região de integração no plano
.
- As condições de integração são
e . - Isso descreve a região
- Vamos identificar os vértices da região. Quando
temos , isto é pontos entre e . Quando temos , isto é o ponto . Assim os vértices são , , . A fronteira esquerda é a reta e a direita é .
Passo 3
Determinar os novos limites ao trocar a ordem
(na verdade queremos
originalmente, mas já temos
; agora vamos integrar em
primeiro e depois em
).
- Para trocar a ordem, fixe
e encontre os possíveis . A desigualdade e implica, para um dado , que - Como
varia entre e na região (porque o ponto mais à esquerda é e o mais à direita é ), para todo tem-se . Portanto . - Logo os limites trocados são
e . Assim a integral com a ordem trocada é
Passo 4
Executar a integração em
(interna).
- Observe que
é função de apenas, logo, ao integrar em , trata-se como constante: - Assim a integral dupla reduz-se à integral simples
Passo 5
Calcular a integral simples usando substituição.
- Considere a substituição
. Então , ou seja . - Quando
tem-se . Quando tem-se . - A integral fica
- Avaliando,
Passo 6
Interpretação final e incentivo rápido.
- Pronto! A técnica principal foi desenhar a região, identificar corretamente os novos limites ao fixar
, e usar que a função depende só de para simplificar a integração em . A substituição é o truque padrão para integrais do tipo . Vai dar certo na prova — respira fundo e confia no passo a passo.