Calcule os seguintes limites (dica: use os exercícios 14 e 15):
lim x pi2 e^2 x-pi-12 sen(x)+sen(6 x)-2

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxtopi2e^2x-pi-12sen(x)+sen(6x)-2.
Temos uma indeterminação do tipo tfrac00, portanto vamos usar expansões de Taylor (exercícios 14 e 15) para exp, sin e cos em torno do ponto x=pi2.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada por substituição direta:
e^2(pi2)-pi-1 = e^0-1 = 0, 2senl(tfracpi2r)+senl(6cdottfracpi2r)-2 = 2cdot1 + sen(3pi)-2 = 0
Logo é tfrac00.

Passo 3

Fazemos a mudança de variável
h = x - pi2,
de modo que hto0 quando xtopi2.
O numerador fica
e^2x-pi-1 = e^2(h+pi2)-pi-1 = e^2h-1 approx 2h (pois e^2h=1+2h+o(h))

Passo 4

O denominador é
2sen(x)+sen(6x)-2 =2sen!l(tfracpi2+hr)+sen!l(3pi+6hr)-2
Como sen(tfracpi2+h)=cos h e sen(3pi+6h)=-sen(6h), temos
2cos h - sen(6h) -2 =2l(1-tfrach^22+o(h^2)r)-l(6h+o(h)r)-2 approx -6h - h^2
O termo dominante é -6h.

Passo 5

Dividindo os termos dominantes das expansões,
e^2x-pi-12sen(x)+sen(6x)-2 approx 2h-6h = -tfrac13
Portanto o limite é -tfrac13.

Resposta

-tfrac13

Exercícios relacionados