Exercício 8. (Apostol, capítulo 5.15, exercício 1 a 7) Para cada uma das fomas quadráticas abaixo, ache uma matriz autoadjunta associada, os autovalores da matriz, uma base ortonormal de autovetores e uma matriz unitária que a diagonaliza.
x1^2+2 x1 x2-x2^2

Passo 1

O enunciado pede para a forma quadrática
x1^2 + 2x1x2 - x2^2
encontrar uma matriz autoadjunta A que a represente, depois seus autovalores, uma base ortonormal de autovetores e, por fim, uma matriz unitária que diagonalize A. Vamos usar fatos de Álgebra Linear sobre formas quadráticas e autovalores/autovetores de matrizes simétricas.

Passo 2

Para representar a forma quadrática por uma matriz simétrica, lembramos que em
f(x)=x^TAx
o termo 2,x1x2 corresponde a 2A12x1x2. Logo,
A11=1, A22=-1, A12=A21=1
Assim,
A = 1 & 1 1 & -1

Passo 3

Calculamos os autovalores de A pela equação característica
det(A - lambda I) =det1-lambda & 11 & -1-lambda =(1-lambda)(-1-lambda)-1 =lambda^2-2=0
Portanto,
lambda1=raiz2, lambda2=-raiz2

Passo 4

Agora achamos vetores próprios e os normalizamos.
Para
escolhendo . Um vetor próprio é
cuima norma é
Logo o autovetor unitário é
Para , resolvemos
escolhendo vem . Um vetor próprio é
com norma
O autovetor unitário é

Passo 5

Montamos a matriz unitária (real e orthogonal) U cujas colunas são u1 e u2. Então
U = raiz2+1raiz2(2+raiz2) & 1-raiz2raiz2(2-raiz2) 1raiz2(2+raiz2) & 1raiz2(2-raiz2) ,
e verifica-se
U^TAU = raiz2&00&-raiz2

Resposta

A matriz autoadjunta é
A = 1 & 11 & -1
Os autovalores são
lambda1=raiz2, lambda2=-raiz2
Uma base ortonormal de autovetores é
u1 = 1raiz2(2+raiz2)raiz2+11, u2 = 1raiz2(2-raiz2)1-raiz21
A matriz unitária (ortogonal real) que diagonaliza A é
U = l[,u1;;u2r],
com
U^TAU = diagl(raiz2,-raiz2r)

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