Exercício 8. (Apostol, capítulo 5.15, exercício 1 a 7) Para cada uma das fomas quadráticas abaixo, ache uma matriz autoadjunta associada, os autovalores da matriz, uma base ortonormal de autovetores e uma matriz unitária que a diagonaliza.
Passo 1
O enunciado pede para a forma quadrática
encontrar uma matriz autoadjunta que a represente, depois seus autovalores, uma base ortonormal de autovetores e, por fim, uma matriz unitária que diagonalize . Vamos usar fatos de Álgebra Linear sobre formas quadráticas e autovalores/autovetores de matrizes simétricas.
Passo 2
Para representar a forma quadrática por uma matriz simétrica, lembramos que em
o termo corresponde a . Logo,
Assim,
Passo 3
Calculamos os autovalores de A pela equação característica