Sejam
e
deriváveis até a segunda ordem em
, e tais que
. Mostre que se
, então:
Passo 1
O enunciado diz que
e
são duas vezes diferenciáveis em
e satisfazem
Pede-se mostrar que
Vamos usar o Teorema de L’Hôpital duas vezes e, por fim, a continuidade de
e
.
Passo 2
Como
, ao aproximar
temos forma
. Para aplicar L’Hôpital precisamos de
em
perto de
. Mas
e
implica, pela continuidade de
, que
mantém sinal num vizinhança de
, logo
é estritamente monótona e não se anula para
suficientemente próximo de
. Assim
Passo 3
Agora
, de modo que
também é
quando
. Repetindo L’Hôpital (a mesma razão de não anulação de
vale) obtemos
Passo 4
Como
e
são contínuas em
e
, segue
Unindo tudo,