Sejam f e g deriváveis até a segunda ordem em p, e tais que f(p)=g(p)=f^prime(p)=g^prime(p)=0. Mostre que se g^prime prime(p) neq 0, então:
lim x p f(x)g(x)=lim x p f^prime(x)g^prime(x)=f^prime prime(p)g^prime prime(p)

Passo 1

O enunciado diz que f e g são duas vezes diferenciáveis em p e satisfazem
f(p)=g(p)=f'(p)=g'(p)=0, g''(p)neq0
Pede-se mostrar que
limxto pf(x)g(x) = limxto pf'(x)g'(x) = f''(p)g''(p)
Vamos usar o Teorema de L’Hôpital duas vezes e, por fim, a continuidade de f'' e g''.

Passo 2

Como f(p)=g(p)=0, ao aproximar xto p temos forma tfrac00. Para aplicar L’Hôpital precisamos de g'(x)neq0 em xneq p perto de p. Mas g'(p)=0 e g''(p)neq0 implica, pela continuidade de g'', que g'' mantém sinal num vizinhança de p, logo g' é estritamente monótona e não se anula para xneq p suficientemente próximo de p. Assim
limxto pf(x)g(x) = limxto pf'(x)g'(x)

Passo 3

Agora f'(p)=g'(p)=0, de modo que tfracf'(x)g'(x) também é tfrac00 quando xto p. Repetindo L’Hôpital (a mesma razão de não anulação de g'' vale) obtemos
limxto pf'(x)g'(x) = limxto pf''(x)g''(x)

Passo 4

Como f'' e g'' são contínuas em p e g''(p)neq0, segue
limxto pf''(x)g''(x) = f''(p)g''(p)
Unindo tudo,
limxto pf(x)g(x) = limxto pf'(x)g'(x) = f''(p)g''(p)

Resposta

limxto pf(x)g(x) = limxto pf'(x)g'(x) = f''(p)g''(p)

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