Identifique e esboce o traço de cada superfície parametrizada, indicando as respectivas curvas coordenadas.
g(u, v)=(v cos u, v sen u, v), 0<u<2 pi e v>0.

Passo 1

O enunciado nos dá a parametrização
g(u,v)=(vcos u,;vsin u,;v), 0<u<2pi,;v>0,
e pede que identifiquemos os traços (curvas de coordenada) e esbocemos a superfície.

Passo 2

Para v=v0>0 fixo, temos a curva em função de u:
alphav0(u)=g(u,v0)=(v0cos u,;v0sin u,;v0)
Essa é a equação de um círculo de raio v0 no plano horizontal z=v0.

Passo 3

Para u=u0 fixo, obtemos a curva em função de v:
betau0(v)=g(u0,v)=(vcos u0,;vsin u0,;v)
Note que
betau0(v)=v,(cos u0,;sin u0,;1),
ou seja, é uma reta (geratriz) que parte da origem na direção (cos u0,sin u0,1).

Passo 4

Eliminando os parâmetros para ver a forma da superfície, escrevemos
x=vcos u, y=vsin uLongrightarrow x^2+y^2=v^2,
e como z=v, segue
x^2+y^2=z^2,
que é um cone circular reto voltado para cima (com z>0).

Passo 5

No esboço, desenhe o cone x^2+y^2=z^2, marque alguns círculos horizontais em alturas z=v0 e algumas geratrizes retas ao longo de direções u=u0.

Resposta

As curvas de coordenadas são:
Para v=v0:
alphav0(u)=(v0cos u,;v0sin u,;v0),
círculos de raio v0 no plano z=v0.
Para u=u0:
betau0(v)=(vcos u0,;vsin u0,;v),
retas geratrizes do cone dado por x^2+y^2=z^2.
O esboço da superfície é um cone circular reto de eixo z, com essas curvas coordenadas destacadas.

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