Identifique e esboce o traço de cada superfície parametrizada, indicando as respectivas curvas coordenadas.
.
Passo 1
O enunciado nos dá a parametrização
e pede que identifiquemos os traços (curvas de coordenada) e esbocemos a superfície.
Passo 2
Para
fixo, temos a curva em função de
:
Essa é a equação de um círculo de raio
no plano horizontal
.
Passo 3
Para
fixo, obtemos a curva em função de
:
Note que
ou seja, é uma reta (geratriz) que parte da origem na direção
.
Passo 4
Eliminando os parâmetros para ver a forma da superfície, escrevemos
e como
, segue
que é um cone circular reto voltado para cima (com
).
Passo 5
No esboço, desenhe o cone
, marque alguns círculos horizontais em alturas
e algumas geratrizes retas ao longo de direções
.
Resposta
As curvas de coordenadas são:
Para :
Para
círculos de raio
no plano
.
Para :
Para
retas geratrizes do cone dado por
.
O esboço da superfície é um cone circular reto de eixo , com essas curvas coordenadas destacadas.
O esboço da superfície é um cone circular reto de eixo