Calcule os seguintes limites envolvendo o infinito:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o limite quando $ x $ se aproxima de 1 da expressão
. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo, especificamente sobre limites envolvendo funções racionais. Para resolver, vamos precisar entender como substituir o valor de $ x $ na expressão e analisar o comportamento da função perto desse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir $ x = 1 $ diretamente na expressão para ver o que acontece:
Aqui vemos que estamos dividindo por zero, o que não é permitido. Isso nos diz que o limite pode estar tendendo para o infinito, mas precisamos analisar com mais cuidado.
Passo 3
Vamos analisar o comportamento do denominador quando $ x $ se aproxima de 1:
Quando $ x $ se aproxima de 1, $ x - 1 $ se aproxima de 0, e $ x + 1 $ se aproxima de 2. Portanto, o denominador está se aproximando de 0, mas a direção (positivo ou negativo) dependerá de como $ x $ se aproxima de 1.
Passo 4
Vamos verificar os limites laterais:
-
Quando $ x $ se aproxima de 1 pela direita ($ x \to 1^+ $):
- $ x - 1 $ é positivo e muito pequeno.
- O denominador $ 3(x - 1)(x + 1) $ é positivo.
- O numerador é
, que é negativo. - Então, $\frac{-7}{positiva pequena} $ tende a
.
-
Quando $ x $ se aproxima de 1 pela esquerda ($ x \to 1^- $):
- $ x - 1 $ é negativo e muito pequeno.
- O denominador $ 3(x - 1)(x + 1) $ é negativo.
- O numerador continua
, que é negativo. - Então, $\frac{-7}{negativa pequena} $ tende a
.
Passo 5
Como os limites laterais são diferentes (
pela direita e
pela esquerda), o limite geral não existe.
Resposta
O limite não existe, pois tende a
pela direita e
pela esquerda.