Calcule os seguintes limites envolvendo indeterminações:
(a) lim (x, y) (2,3) x^2 y-3 x^2-4 x y+12 x+4 y-12x y-3 x-2 y+6
(b) lim (x, y) (4,1) y raizx-2 y-raizx+24-x+x raizy-4 raizy
(c) lim (x, y) (0,0) raizx+3-raiz3x y+x
(d) lim (x, y) (0,1) (y-1) sen xraiz4 x^2+4(y-1)^2

Passo 1

O enunciado pede limites de funções de duas variáveis que geram indeterminações do tipo 0/0. Em cada caso vamos:
– verificar que o par (x,y) leva numerador e denominador a zero;
– fatorar ou simplificar a expressão para cancelar o fator nulo;
– calcular o valor restante no ponto dado.

Passo 2

Para
lim(x,y)to(2,3)x^2y-3x^2-4xy+12x+4y-12,xy-3x-2y+6,
observe que o numerador se agrupa em
x^2y-3x^2-4xy+12x+4y-12 =(y-3)(x^2-4x+4)=(y-3)(x-2)^2,
e o denominador em
xy-3x-2y+6=(y-3)(x-2)
Cancelando (y-3), resta tfrac(x-2)^2x-2=x-2, cujo valor em x=2 é 0.

Passo 3

Para
lim(x,y)to(4,1)yraizx-2y-raizx+2,4-x+xraizy-4raizy,
faça a=raizx, b=raizy. Então o numerador torna-se
b^2a-2b^2-a+2=(b^2-1)(a-2)=(b-1)(b+1)(a-2),
e o denominador
4-a^2+a^2b-4b=(4-a^2)(1-b)=(a^2-4)(b-1)=(a-2)(a+2)(b-1)
Cancelando (a-2)(b-1), sobra tfracb+1a+2, que em (a,b)=(2,1) vale tfrac24=tfrac12.

Passo 4

Para
lim(x,y)to(0,0)raizx+3-raiz3,x,y+x,
use o conjugado no numerador:
raizx+3-raiz3=xraizx+3+raiz3,
logo a fração fica
x(raizx+3+raiz3),(x(y+1))=1(y+1),(raizx+3+raiz3)
Ao levar (x,y)to(0,0), obtemos tfrac12raiz3.

Passo 5

Para
lim(x,y)to(0,1)(y-1)sen xraiz4x^2+4(y-1)^2
faça u=x, v=y-1. A expressão é
vsen u2raizu^2+v^2
Em coordenadas polares u=rcostheta, v=rsintheta temos
rsintheta;sen(rcostheta)2r =sintheta,sen(rcostheta)2,
que tende a 0 quando rto0.

Resposta

(a) 0
(b) tfrac12
(c) tfrac12raiz3
(d) 0

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