Calcule os seguintes limites envolvendo indeterminações:
(a)
(b)
(c)
(d)
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado pede limites de funções de duas variáveis que geram indeterminações do tipo
. Em cada caso vamos:
– verificar que o par leva numerador e denominador a zero;
– fatorar ou simplificar a expressão para cancelar o fator nulo;
– calcular o valor restante no ponto dado.
– verificar que o par
– fatorar ou simplificar a expressão para cancelar o fator nulo;
– calcular o valor restante no ponto dado.
Passo 2
Para
observe que o numerador se agrupa em
e o denominador em
Cancelando
, resta
, cujo valor em
é
.
Passo 3
Para
faça
,
. Então o numerador torna-se
e o denominador
Cancelando
, sobra
, que em
vale
.
Passo 4
Para
use o conjugado no numerador:
logo a fração fica
Ao levar
, obtemos
.
Passo 5
Para
faça
,
. A expressão é
Em coordenadas polares
,
temos
que tende a
quando
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)