Calcule os seguintes limites (envolvendo o número neperiano e \cong 2,7182 ):
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1-\frac{4}{x}\right)^{5 x}.

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to+\infty}\left(1-\frac{4}{x}\right)^{5x}.
Informações importantes dadas:
  • A expressão envolve o número neperiano e (lembrando: e\cong 2,7182).
  • Para x>4 a base \left(1-\dfrac{4}{x}\right) é positiva, então a expressão está bem definida para x grande.
  • Preciso encontrar o valor do limite quando x tende a +\infty.

Passo 2

Estratégia: é muito útil aplicar o logaritmo natural à expressão antes de tentar o limite. Por quê? Porque o log transforma potência em produto, o que simplifica o comportamento assintótico. Depois, se o limite do log existir e for finito, uso a continuidade da função exponencial para voltar ao valor original.
Defino
L(x)=\ln\!\left(\left(1-\frac{4}{x}\right)^{5x}\right).
Então
L(x)=5x\cdot\ln\!\left(1-\frac{4}{x}\right).
Vou calcular \lim_{x\to+\infty}L(x); se for um número finito L, então o limite pedido será \exp(L).

Passo 3

A peça-chave é o limite padrão
\lim_{t\to 0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1.
Explicação curta desse fato (intuição para a prova): quando t é muito pequeno, \ln(1+t) comporta-se como t (expansão em série ou derivada de \ln em 0). Logo \ln(1+t)\sim t quando t\to0.
No nosso caso, faça a substituição
t=-\frac{4}{x}.
Quando x\to+\infty então t\to 0. Reescrevendo L(x) em termos de t:
L(x)=5x\ln(1+t)\quad\text{com}\quad t=-\frac{4}{x}.
Note que x=-\dfrac{4}{t}, logo
x\ln(1+t)=\left(-\frac{4}{t}\right)\ln(1+t)= -4\cdot\frac{\ln(1+t)}{t}.

Passo 4

Agora passo ao limite usando o fato do Passo 3:
\lim_{x\to+\infty}x\ln\!\left(1-\frac{4}{x}\right) =\lim_{t\to0}-4\cdot\frac{\ln(1+t)}{t} =-4\cdot 1=-4.
Multiplicando por 5,
\lim_{x\to+\infty}L(x)=\lim_{x\to+\infty}5x\ln\!\left(1-\frac{4}{x}\right)=5\cdot(-4)=-20.

Passo 5

Voltando da transformação logarítmica: como \lim_{x\to+\infty}L(x)=-20 e a função exponencial é contínua, o limite original é
\exp\!\left(\lim_{x\to+\infty}L(x)\right)=\exp(-20).
Se quiser uma ideia numérica, \exp(-20) é um número muito pequeno (aproximadamente 2{,}06\times10^{-9}), mas a forma exata é \mathrm{e}^{-20}.

Resposta

\mathrm{e}^{-20}

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