Calcule os seguintes limites (envolvendo o número neperiano e
):
.
Passo 1
O enunciado pede o limite
Informações importantes dadas:
- A expressão envolve o número neperiano
(lembrando: ). - Para
a base é positiva, então a expressão está bem definida para grande. - Preciso encontrar o valor do limite quando
tende a .
Passo 2
Estratégia: é muito útil aplicar o logaritmo natural à expressão antes de tentar o limite. Por quê? Porque o log transforma potência em produto, o que simplifica o comportamento assintótico. Depois, se o limite do log existir e for finito, uso a continuidade da função exponencial para voltar ao valor original.
Defino
Então
Vou calcular
; se for um número finito
, então o limite pedido será
.
Passo 3
A peça-chave é o limite padrão
Explicação curta desse fato (intuição para a prova): quando
é muito pequeno,
comporta-se como
(expansão em série ou derivada de
em
). Logo
quando
.
No nosso caso, faça a substituição
Quando
então
. Reescrevendo
em termos de
:
Note que
, logo
Passo 4
Agora passo ao limite usando o fato do Passo 3:
Multiplicando por
,
Passo 5
Voltando da transformação logarítmica: como
e a função exponencial é contínua, o limite original é
Se quiser uma ideia numérica,
é um número muito pequeno (aproximadamente
), mas a forma exata é
.