Calcule os seguintes limites (se existam):
\lim _{x \rightarrow 4} \frac{|x-4|}{x-4}.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to4}\frac{\lvert x-4\rvert}{x-4}.
O conteúdo aqui é o tratamento de valor absoluto em limites, que exige analisar os casos x>4 e x<4 para obter os limites laterais.

Passo 2

Reescrevemos a função em forma piecewise usando a definição de valor absoluto:
\frac{\lvert x-4\rvert}{x-4} = \begin{cases} \frac{x-4}{x-4}=1, & \text{se }x>4,\\[6pt] \frac{-(x-4)}{x-4}=-1, & \text{se }x<4. \end{cases}]

Passo 3

Calculamos os limites laterais:
Para a direita:
\lim_{x\to4^+}\frac{\lvert x-4\rvert}{x-4}=1.
Para a esquerda:
\lim_{x\to4^-}\frac{\lvert x-4\rvert}{x-4}=-1.

Passo 4

Como os limites laterais são diferentes 1\neq -1, o limite \lim_{x\to4}\frac{\lvert x-4\rvert}{x-4} não existe.

Resposta

O limite não existe.

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