Exercício 30. Nas condições do Teorema dos Multiplicadores de Lagrange, definimos a função de Lagrange por
L(x, lambda):=f(x)-lambda^T(g(x)-c)
Mostre que ( x0, lambda0 ) é ponto crítico de L se, e somente se, x0 é ponto crítico da restrição de f ao conjunto g(x)=c.
Mostre também que, se x0 é um mínimo local para o problema com restrição e lambda0 é o multiplicador de Lagrange associado, então, para todo v in ker g^prime(x0), temos
lang<=nablax^2 L(x0, lambda0) v, vrang<= >= 0

Passo 1

O enunciado trabalha com o Teorema dos Multiplicadores de Lagrange para um problema
minxinR^n f(x) sujeito a g(x)=c,;gcolonR^ntoR^m,
e define a função de Lagrange
L(x,lambda)=f(x)-lambda^Tl(g(x)-cr)
Vamos mostrar duas coisas:
1. Que (x0,lambda0) é ponto crítico de L (i.e.\ nablax L(x0,lambda0)=0 e nablalambda L(x0,lambda0)=0) se, e somente se, x0 satisfaz as condições de ponto crítico de f sobre a superfície g(x)=c.
2. Se x0 é mínimo local sujeito à restrição e lambda0 o multiplicador associado, então para todo vetor v em ker g'(x0) vale
lang<=nablax^2L(x0,lambda0),v,;vrang<=;>=;0

Passo 2

Prova da equivalência dos pontos críticos de L e da restrição.
Rightarrow”: Se (x0,lambda0) é crítico de L então
nablalambda L(x0,lambda0)= -l(g(x0)-cr)=0 Longrightarrow g(x0)=c,
e
nablax L(x0,lambda0) =nabla f(x0)-l[g'(x0)r]^Tlambda0=0 Longrightarrow nabla f(x0)=l[g'(x0)r]^Tlambda0
Para mostrar que x0 é crítico de f com restrição basta ver que, se vinker g'(x0), então
D f(x0)[v] =lang<=nabla f(x0),vrang<= =llang<=l[g'(x0)r]^Tlambda0,vrrang<= =lang<=lambda0,g'(x0)vrang<= =0
Isto é exatamente a condição de ponto crítico de f ao longo da superfície g(x)=c.
Leftarrow”: Suponha que x0 satisfaça g(x0)=c e que D f(x0)[v]=0 para todo vinker g'(x0). Como g'(x0) tem posto m, seu aniquilador ker g'(x0) tem dimensão n-m. A condição de anulação em todos esses v implica que nabla f(x0) pertence à imagem de l[g'(x0)r]^T. Logo existe lambda0 tal que
nabla f(x0)=l[g'(x0)r]^Tlambda0
Definindo lambda0 assim e lembrando que g(x0)=c, temos
nablax L(x0,lambda0)=0 e nablalambda L(x0,lambda0)=0, ou seja, (x0,lambda0) é ponto crítico de L.

Passo 3

Condição de segunda ordem.
Se x0 é mínimo local de f com g(x)=c, então para todo vinker g'(x0) e toda curva suave alpha(t) em g=c com alpha(0)=x0 e alpha'(0)=v, vale
d^2dt^2l(f(alpha(t))r)|t=0;>=;0
Por cálculo de derivadas em cadeia,
d^2dt^2f(alpha(t))|t=0 =llang<=nabla^2 f(x0)v,vrrang<= +llang<=nabla f(x0),,alpha''(0)rrang<=
Mas da restrição g(alpha(t))=c vem
g'(x0),v=0 e g'(x0),alpha''(0)+g''(x0)(v,v)=0 ;Longrightarrow; g'(x0),alpha''(0)=-,g''(x0)(v,v)
Como nabla f(x0)=l[g'(x0)r]^Tlambda0,
lang<=nabla f(x0),alpha''(0)rang<= =lang<=lambda0,,g'(x0)alpha''(0)rang<= =-lang<=lambda0,,g''(x0)(v,v)rang<=
Portanto
d^2dt^2f(alpha(t))|t=0 =lang<=nabla^2 f(x0)v,vrang<= -lang<=lambda0,,g''(x0)(v,v)rang<= =llang<=nablax^2L(x0,lambda0),v,;vrrang<= ;>=;0,
o que prova a condição de definitude semidefinida no espaço tangente ker g'(x0).

Resposta

Ficou demonstrado que (x0,lambda0) é ponto crítico de L se, e somente se, x0 é ponto crítico de f sujeito a g(x)=c, e que em ponto mínimo local a Hessiana restrita satisfaz
lang<=nablax^2L(x0,lambda0),v,;vrang<=;>=;0 forall,vinker g'(x0)

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