Exercício 30. Nas condições do Teorema dos Multiplicadores de Lagrange, definimos a função de Lagrange por
Mostre que ( ) é ponto crítico de se, e somente se, é ponto crítico da restrição de ao conjunto .
Mostre também que, se é um mínimo local para o problema com restrição e é o multiplicador de Lagrange associado, então, para todo , temos
Passo 1
O enunciado trabalha com o Teorema dos Multiplicadores de Lagrange para um problema
e define a função de Lagrange
Vamos mostrar duas coisas: . Que é ponto crítico de (i.e.\ e ) se, e somente se, satisfaz as condições de ponto crítico de sobre a superfície . . Se é mínimo local sujeito à restrição e o multiplicador associado, então para todo vetor em vale
Passo 2
Prova da equivalência dos pontos críticos de e da restrição.
“”: Se é crítico de então
e
Para mostrar que é crítico de com restrição basta ver que, se , então
Isto é exatamente a condição de ponto crítico de ao longo da superfície .
“”: Suponha que satisfaça e que para todo . Como tem posto , seu aniquilador tem dimensão . A condição de anulação em todos esses implica que pertence à imagem de . Logo existe tal que
Definindo assim e lembrando que , temos e , ou seja, é ponto crítico de .
Passo 3
Condição de segunda ordem.
Se é mínimo local de com , então para todo e toda curva suave em com e , vale
o que prova a condição de definitude semidefinida no espaço tangente ker g'(x0).
Resposta
Ficou demonstrado que (x0,lambda0) é ponto crítico de L se, e somente se, x0 é ponto crítico de f sujeito a g(x)=c, e que em ponto mínimo local a Hessiana restrita satisfaz