Calcule os seguintes limites, quando existirem. Caso não existam, explique o porquê.
lim x 0 cos (x)-cos ^3(x)x^2.

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos calcular
limx to 0 cos(x)-cos^3(x)x^2
O conteúdo aqui é limite de função trigonométrica. Para resolver usamos identidades trigonométricas e limites notórios, em particular
limxto0sin(x)x=1 e limxto0cos(x)=1.

Passo 2

Aplicamos a identidade 1-cos^2(x)=sin^2(x) para fatorar o numerador:
cos(x)-cos^3(x) =cos(x)l(1-cos^2(x)r) =cos(x),sin^2(x)

Passo 3

Substituímos no quociente:
cos(x)-cos^3(x)x^2 =cos(x),sin^2(x)x^2 =cos(x),sin^2(x)x^2 =cos(x),l(sin(x)xr)^2

Passo 4

Agora usamos os limites conhecidos:
limxto0cos(x)=1 e limxto0sin(x)x=1.
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limxto0cos(x),l(tfracsin(x)xr)^2 =1cdot1^2 =1

Resposta

1

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