Verifique se as funções dadas abaixo são diferenciáveis na origem.
f(x, y)= 3 y^4x^2+y^2 & (x, y) neq(0,0) 0 & (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x,y)= dfrac3,y^4x^2+y^2,&(x,y)neq(0,0),[0.5em] 0,&(x,y)=(0,0)
é differentiável em (0,0).
O conteúdo necessário envolve cálculo das derivadas parciais em (0,0) e o critério de diferenciabilidade em R^2, que exige mostrar que
f(x,y)-f(0,0)-l(fx(0,0),x+fy(0,0),yr)
é ol(raizx^2+y^2r) quando (x,y)to(0,0).]

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais em (0,0).
Para partial f/partial x usamos y=0:
f(h,0)=0Longrightarrow fx(0,0)=limhto0f(h,0)-0h=0
Para partial f/partial y usamos x=0:
f(0,h)=3,h^4h^2=3h^2 Longrightarrow fy(0,0)=limhto0f(0,h)-0h =limhto03h=0
Logo a aproximação linear candidata em (0,0) é L(x,y)=0.

Passo 3

Verificamos o critério de diferenciabilidade usando coordenadas polares. Seja
x=rcostheta, y=rsintheta,
então, para (x,y)neq(0,0),
f(r,theta) =3,(rsintheta)^4r^2 =3,r^2sin^4theta
O erro na aproximação linear é exatamente f(r,theta)-0. Então
l|f(r,theta)-0r|r =3,r^2l|sin^4thetar|r =3,r,sin^4theta ;xrightarrow[rto0];0
Isso mostra que
f(x,y)-L(x,y)=ol(raizx^2+y^2r),
portanto f é diferenciável em (0,0).

Resposta

A função f é diferenciável na origem.

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