Exercício 15. (Apostol seção 1.17 exercício 2) Para cada um dos casos abaixo. acho uma base ortonormal para o subespaço de
gerado pelos vetores dados:
e
.
Passo 1
O enunciado pede uma base ortonormal do subespaço de
gerado por
.
O método a usar é o processo de Gram–Schmidt, que constrói vetores ortogonais e depois os normaliza.
O método a usar é o processo de Gram–Schmidt, que constrói vetores ortogonais e depois os normaliza.
Passo 2
Primeiro determinamos a dimensão do subespaço. Note que
logo
há uma relação linear entre os quatro vetores, de modo que a dimensão do subespaço é
. Bastam três vetores linearmente independentes, por exemplo
.
Passo 3
Definimos
Calculamos seu comprimento:
Então o primeiro vetor ortonormal é
Passo 4
Agora projetamos
sobre
e subtraímos:
Logo
O comprimento de
é
E o segundo vetor ortonormal é
Passo 5
Projeta-se
em
e
:
Então
O comprimento de
é
Logo o terceiro vetor ortonormal é
Passo 6
Concluímos que uma base ortonormal do subespaço gerado por
é