Exercício 15. (Apostol seção 1.17 exercício 2) Para cada um dos casos abaixo. acho uma base ortonormal para o subespaço de mathbbR^4 gerado pelos vetores dados:
u1=(1,1,0,0), u2=(0,1,1,0), u3=(0,0,1,1) e u4=(1,0,0,1).

Passo 1

O enunciado pede uma base ortonormal do subespaço de R^4 gerado por
;u1=(1,1,0,0),;u2=(0,1,1,0),;u3=(0,0,1,1),;u4=(1,0,0,1).
O método a usar é o processo de Gram–Schmidt, que constrói vetores ortogonais e depois os normaliza.

Passo 2

Primeiro determinamos a dimensão do subespaço. Note que
u1+u3=(1,1,0,0)+(0,0,1,1)=(1,1,1,1) e u2+u4=(0,1,1,0)+(1,0,0,1)=(1,1,1,1),
logo
u1+u3-u2-u4=0,
há uma relação linear entre os quatro vetores, de modo que a dimensão do subespaço é 3. Bastam três vetores linearmente independentes, por exemplo u1,u2,u3.

Passo 3

Definimos
v1=u1=(1,1,0,0)
Calculamos seu comprimento:
|v1|=raizlang<= v1,v1rang<= =raiz1^2+1^2+0^2+0^2 =raiz2
Então o primeiro vetor ortonormal é
e1=v1|v1| =1raiz2,(1,1,0,0)

Passo 4

Agora projetamos u2 sobre e1 e subtraímos:
lang<= u2,e1rang<= =(0,1,1,0)cdot1raiz2(1,1,0,0) =1raiz2
Logo
v2 = u2-lang<= u2,e1rang<=,e1 =(0,1,1,0)-1raiz2cdot1raiz2(1,1,0,0) =(0,1,1,0)-tfrac12(1,1,0,0) =(-tfrac12,tfrac12,1,0)
O comprimento de v2 é
|v2| =raizl(-tfrac12r)^2+l(tfrac12r)^2+1^2+0^2 =raiztfrac14+tfrac14+1 =raiztfrac32 =raiz32
E o segundo vetor ortonormal é
e2=v2|v2| =(-tfrac12,tfrac12,1,0)tfracraiz32 =l(-tfrac1raiz3,tfrac1raiz3,tfrac2raiz3,0r)

Passo 5

Projeta-se u3 em e1 e e2:
lang<= u3,e1rang<= =(0,0,1,1)cdot1raiz2(1,1,0,0) =0,
lang<= u3,e2rang<= =(0,0,1,1)cdotl(-tfrac1raiz3,tfrac1raiz3,tfrac2raiz3,0r) =2raiz3
Então
v3 = u3 -lang<= u3,e1rang<= e1 -lang<= u3,e2rang<= e2 =(0,0,1,1) -2raiz3,e2 =13(2,-2,-1,3)
O comprimento de v3 é
|v3| =13raiz2^2+(-2)^2+(-1)^2+3^2 =13raiz4+4+1+9 =raiz183 =3raiz23 =raiz2
Logo o terceiro vetor ortonormal é
e3=v3|v3| =13raiz2(2,-2,-1,3)

Passo 6

Concluímos que uma base ortonormal do subespaço gerado por u1,u2,u3,u4 é
e1=1raiz2(1,1,0,0), e2=l(-tfrac1raiz3,tfrac1raiz3,tfrac2raiz3,0r), e3=13raiz2(2,-2,-1,3)

Resposta

l;1raiz2(1,1,0,0),; l(-tfrac1raiz3,tfrac1raiz3,tfrac2raiz3,0r),; 13raiz2(2,-2,-1,3)r

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