Calcule os seguintes limites, se existirem, e indique quais limites implicam na existência de assíntotas.
lim x infty x^2+3x^2-1

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxtoinftyx^2+3x^2-1. O conteúdo envolvido é limite de função racional no infinito e identificação de assíntota horizontal. Vamos usar a técnica de dividir numerador e denominador pela maior potência de x.

Passo 2

Dividindo numerador e denominador por x^2, temos:
x^2+3x^2-1 =x^2x^2+3x^2x^2x^2-1x^2 =1+3x^21-1x^2
À medida que xtoinfty, os termos 3/x^2 e 1/x^2 tendem a zero.

Passo 3

Aplicando propriedade de limites em funções contínuas, obtemos:
limxtoinfty1+3x^21-1x^2 =1+01-0 =1
Como o limite da função quando xtoinfty é finito e igual a 1, existe assíntota horizontal dada por y=1.

Resposta

1, implicando assíntota horizontal em y=1.

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