Calcule os seguintes limites, se existirem, e indique quais limites implicam na existência de assíntotas.
lim x 1 x^2+3x^2-1

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite limxto1x^2+3x^2-1 e a identificação de eventuais assíntotas. Aqui temos uma função racional cujo denominador zera em x=1, então precisamos analisar os limites laterais para ver se há divergência e assíntota vertical.

Passo 2

Fatoramos o denominador usando x^2-1=(x-1)(x+1). Observamos que em x=1 o denominador vai a zero enquanto o numerador x^2+3 tende a 4, indicando possibilidade de limite infinito.

Passo 3

Para xto1^+ escrevemos x=1+h com h>0 pequeno. Então x-1=h>0 e x+1approx2>0, fazendo o denominador (x-1)(x+1)approx2h>0 e o numerador approx4>0. Logo limxto1^+x^2+3x^2-1=+infty.
Para xto1^- escrevemos x=1+h com h<0 pequeno. Aqui x-1=h<0 e x+1approx2>0, de modo que o denominador (x-1)(x+1)approx2h<0 e o numerador approx4>0. Logo limxto1^-x^2+3x^2-1=-infty.

Passo 4

Como os limites laterais são infinitos e de sinais opostos, o limite bilateral não existe no sentido finito e existe uma assíntota vertical em x=1.

Resposta

O limite bilateral não existe no sentido finito; limxto1^+x^2+3x^2-1=+infty, limxto1^-x^2+3x^2-1=-infty. Há assíntota vertical em x=1.

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