Resolva a equação 2 cos ^2(x)+sen(x)=1 no intervalo [0,4 pi].

Passo 1

Resumo do enunciado: temos que resolver a equação trigonométrica 2cos^2(x) + sin(x) = 1 no intervalo [0,4pi]. O conteúdo envolve uso de identidades trigonométricas e solução de uma equação quadrática em sin(x).

Passo 2

Substituir a identidade cos^2(x)=1-sin^2(x). Na equação original fazemos
2l(1-sin^2(x)r)+sin(x)=1

Passo 3

Transformar em equação quadrática em y=sin(x). Simplificando:
2-2sin^2(x)+sin(x)=1implies -2sin^2(x)+sin(x)+1=0

Passo 4

Multiplicar por -1 para padronizar:
2sin^2(x)-sin(x)-1=0

Passo 5

Resolver a equação quadrática 2y^2-y-1=0 usando a fórmula de Bhaskara:
y=1pmraiz1+84=1pm34implies y1=1, y2=-tfrac12

Passo 6

Como y=sin(x), temos duas equações: sin(x)=1 e sin(x)=-tfrac12. A seguir, achamos a forma geral de cada solução.
Para cada caso a solução geral é:
sin(x)=1implies x=tfracpi2+2pi k,
sin(x)=-tfrac12implies x=tfrac7pi6+2pi kou x=tfrac11pi6+2pi k

Passo 7

Restringindo a 0<= x<=4pi, basta escolher k=0,1 em cada expressão para garantir que x fique no intervalo dado.

Resposta

As soluções no intervalo [0,4pi] são:
x=pi2,;7pi6,;11pi6,;5pi2,;19pi6,;23pi6

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