Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
são ambas convergentes, então
é convergente.
Passo 1
O enunciado diz que, se as integrais impróprias
e
convergem, então verificar se também converge
. O conteúdo envolve integrais impróprias e a propriedade de linearidade das integrais.
Passo 2
Por definição de integral imprópria, temos
e analogamente para
. Como sabemos que esses limites existem e são finitos, vamos usá-los.
Passo 3
Pela linearidade da integral definida em um intervalo finito, vale para todo
:
Isso é uma propriedade básica: “a integral da soma é a soma das integrais”.
Passo 4
Agora passamos ao limite
:
Como a soma de limites convergentes é um limite convergente, obtemos
que é finito.
Passo 5
Portanto, conclui-se que
converge pela linearidade das integrais e pelas hipóteses de convergência de cada parcela individual.
Resposta
Verdadeira. Pela propriedade de linearidade das integrais impróprias, a soma das duas funções também gera uma integral convergente.