Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se integrala^infty f(x) d x e integrala^infty g(x) d x são ambas convergentes, então integrala^infty[f(x)+g(x)] d x é convergente.

Passo 1

O enunciado diz que, se as integrais impróprias integrala^infty f(x),dx e integrala^infty g(x),dx convergem, então verificar se também converge integrala^infty[f(x)+g(x)],dx. O conteúdo envolve integrais impróprias e a propriedade de linearidade das integrais.

Passo 2

Por definição de integral imprópria, temos
integrala^infty f(x),dx = limbtoinftyintegrala^b f(x),dx
e analogamente para g. Como sabemos que esses limites existem e são finitos, vamos usá-los.

Passo 3

Pela linearidade da integral definida em um intervalo finito, vale para todo b>a:
integrala^b [f(x)+g(x)],dx = integrala^b f(x),dx + integrala^b g(x),dx
Isso é uma propriedade básica: “a integral da soma é a soma das integrais”.

Passo 4

Agora passamos ao limite btoinfty:
integrala^infty [f(x)+g(x)],dx = limbtoinftyintegrala^b[f(x)+g(x)],dx = limbtoinftyl(integrala^b f(x),dx + integrala^b g(x),dxr)
Como a soma de limites convergentes é um limite convergente, obtemos
limbtoinftyintegrala^b f(x),dx + limbtoinftyintegrala^b g(x),dx
que é finito.

Passo 5

Portanto, conclui-se que integrala^infty[f(x)+g(x)],dx converge pela linearidade das integrais e pelas hipóteses de convergência de cada parcela individual.

Resposta

Verdadeira. Pela propriedade de linearidade das integrais impróprias, a soma das duas funções também gera uma integral convergente.

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