Calcule os seguintes limites, se existirem:
lim (x, y) (0,0) x^4-x^2 y^2x^2+y^2-2 x y

Passo 1

A questão pede o limite de x^4-x^2y^2x^2+y^2-2xy quando (x,y)to(0,0). O assunto é limite de função de duas variáveis e vamos precisar de fatoração e testes de caminhos para ver se o resultado é único.

Passo 2

Vamos fatorar numerador e denominador. No numerador temos x^4-x^2y^2=x^2(x^2-y^2)=x^2(x+y)(x-y). No denominador nota-se que x^2+y^2-2xy=(x-y)^2. Assim, fora da reta x=y,
escrevemos
x^4-x^2y^2x^2+y^2-2xy=x^2(x+y)(x-y)(x-y)^2=x^2(x+y)x-y

Passo 3

Para testar se esse limite é único, primeiro vamos ao caminho reto y=kx (com kneq1). Substituindo,
x^2(x+kx)x-kx=x^2x(1+k)x(1-k)=x^21+k1-k

Passo 4

Como xto0, esse valor tende a 0 para qualquer kneq1.

Passo 5

Agora escolhemos um caminho não linear que fique muito próximo de y=x, por exemplo y=x+x^3. Então x-y=-x^3 e
numerador=x^4-x^2(x+x^3)^2=x^4-x^2(x^2+2x^4+x^6)=-2x^6-x^8,
denominador=(x-y)^2=x^6,

Passo 6

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x^4-x^2y^2x^2+y^2-2xy=-2x^6-x^8x^6=-2 - x^2to -2

Passo 7

Como pelos caminhos y=kx o limite é 0 e pelo caminho y=x+x^3 o limite é -2, o valor não é único.

Resposta

O limite não existe (é diferente conforme o caminho de aproximação).

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