Calcule os seguintes limites, se existirem:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite duplo
lim
(x,y)→(0,0)
(2x² − y)/(x² + 3y²)
Esse é um problema de limites de funções de duas variáveis e, para verificar se o limite existe, vamos comparar valores ao longo de diferentes caminhos até (0,0).
Passo 2
Primeiro, tome o caminho y = 0. Substituindo em
(2x² − y)/(x² + 3y²)
, temos
(2x² − 0)/(x² + 0) = 2x²/x² = 2.
Logo, ao longo de y = 0 o limite tende a 2.
Passo 3
Agora, escolha um caminho genérico do tipo y = a x², onde a é constante. Substituindo,
(2x² − y)/(x² + 3y²) = (2x² − a x²)/(x² + 3a² x^4) = ((2 − a)x²)/(x²(1 + 3a² x²)).
Simplificando,
= (2 − a)/(1 + 3a² x²).
Quando x→0, o denominador tende a 1 e o quociente tende a 2 − a.
Assim, dependendo de a, podemos obter qualquer valor de 2 − a.
Passo 4
Como para y = 0 (a = 0) o limite foi 2, mas para, por exemplo, a = 1 o limite seria 1, os resultados variam conforme o caminho. Portanto, o limite não é único.
Dessa forma, concluímos que o limite duplo não existe porque assume valores diferentes ao longo de diferentes trajetórias.
Resposta
O limite não existe.