Resolva as equações diferenciais lineares não-homogêneas:
d^2 yd x^2+4 y=3 e^4 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear não-homogênea de 2ª ordem y'' + 4y = 3e^4x. Vamos usar que a solução geral é a soma da solução complementar (da parte homogênea) e de uma solução particular (da parte não-homogênea).

Passo 2

Primeiro encontramos a solução complementar resolvendo a equação característica associada à parte homogênea y'' + 4y = 0. Montamos r^2 + 4 = 0, cujas raízes são r = ,pm 2i. Assim,
yc(x) = C1 cos(2x) + C2 sin(2x)

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular yp para y'' + 4y = 3e^4x. Como o termo forçante é uma exponencial e^4x e 4 não é raiz da característica ( 4^2+4neq0), propomos
yp(x) = A e^4x

Passo 4

Calculamos as derivadas:
yp' = 4A e^4x, yp'' = 16A e^4x

Passo 5

Substituímos em y'' + 4y = 3e^4x:
16A e^4x + 4l(A e^4xr) = 3e^4x

Passo 6

Isto é,
(16A + 4A)e^4x = 3e^4x implies 20A = 3 implies A = tfrac320

Passo 7

Logo,
yp(x) = 320e^4x

Passo 8

A solução geral é a soma de yc e yp.

Resposta

y(x) = C1 cos(2x) + C2 sin(2x) + 320 e^4x, onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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