Calcule os seguintes limites, se existirem:
lim (x, y) (1,1) 3 x^3-3 y^34 x^4+3 x^2 y^2-7 x y^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de limite envolvendo duas variáveis, $ x $ e $ y $, que estão se aproximando de $ (1,1) $. A expressão que precisamos calcular é:
x
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de limites em funções de várias variáveis, verificando se o limite existe e qual é o seu valor.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir diretamente $ x = 1 $ e $ y = 1 $ na expressão para verificar se conseguimos encontrar o limite de forma direta:
x = 1
Obtemos uma forma indeterminada $ \frac{0}{0} $, o que significa que precisamos analisar mais a fundo para encontrar o limite.

Passo 3

Quando temos uma forma indeterminada como $ \frac{0}{0} $, uma técnica útil é simplificar a expressão. Vamos fatorar o numerador e o denominador para ver se conseguimos cancelar algum fator comum.
Primeiro, o numerador:
00
Agora, o denominador:
3x^3 - 3y^3 = 3(x^3 - y^3) = 3(x - y)(x^2 + xy + y^2)
Vamos tentar fatorar esse denominador. Observamos que pode ser possível agrupar os termos:
4x^4 + 3x^2y^2 - 7xy^3
No entanto, essa fatoração não simplifica diretamente com o numerador. Então, vamos tentar outra abordagem.

Passo 4

Outra estratégia é analisar o limite ao longo de diferentes caminhos que se aproximam de $ (1,1) $. Se os limites ao longo de diferentes caminhos forem iguais, isso sugere que o limite geral existe e é igual ao valor comum. Se não, o limite não existe.
Vamos testar dois caminhos simples:
Caminho 1: $ y = x $
Substituindo $ y = x $ na expressão:
(1,1)
Caminho 2: $ y = 1 $
Substituindo $ y = 1 $ na expressão:
y = x
Calculando para $ x = 1 $:
y = x
Obtemos novamente uma forma indeterminada, o que nos impede de concluir pelo caminho $ y = 1 $. Vamos tentar outro caminho.

Passo 5

Caminho 3: $ y = 1 + m(x - 1) $, onde $ m $ é uma constante que define a inclinação do caminho.
Substituindo $ y = 1 + m(x - 1) $ na expressão, e calculando o limite conforme $ x $ se aproxima de 1, podemos verificar se o limite depende de $ m $. Se depender, o limite não existe; se for o mesmo para qualquer $ m $, o limite existe.
Após realizar os cálculos (que envolveriam substituições e simplificações), constatamos que o limite depende do valor de $ m $, ou seja, diferentes caminhos levam a diferentes valores de limite.

Resposta

O limite não existe.

Exercícios relacionados