Resolva as equações diferenciais lineares não-homogêneas:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial não-homogênea de ordem 3 com coeficientes constantes
Esse é um problema de EDO linear. Vamos precisar achar a solução geral como soma da parte homogênea e de uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, resolvemos a parte homogênea associada
Escrevendo a equação característica:
As raízes são r = 0, r = 2 e r = -2. Logo a solução homogênea é
Passo 3
Para a solução particular, usamos o método dos coeficientes a determinar. Como o termo não-homogêneo é 12\sin(2x), assumimos
Passo 4
Calculamos as derivadas de y_{p}:
Passo 5
Substituímos na equação original:
que simplifica para
Igualando coeficientes obtém-se 16A = 12 ⇒ A = \tfrac{3}{4} e -16B = 0 ⇒ B = 0.
Passo 6
Portanto, a solução particular é
E a solução geral da equação não-homogênea é
y_{h} + y_{p}.
y_{h} + y_{p}.