Resolva as equações diferenciais lineares não-homogêneas:
d^3 yd x^3-4 d yd x=12 sen(2 x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial não-homogênea de ordem 3 com coeficientes constantes
d^3ydx^3 - 4dydx = 12sin(2x)
Esse é um problema de EDO linear. Vamos precisar achar a solução geral como soma da parte homogênea e de uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a parte homogênea associada
d^3ydx^3 - 4dydx = 0
Escrevendo a equação característica:
r^3 - 4r = r(r^2 - 4) = 0
As raízes são r = 0, r = 2 e r = -2. Logo a solução homogênea é
yh(x) = C1 + C2e^2x + C3e^-2x

Passo 3

Para a solução particular, usamos o método dos coeficientes a determinar. Como o termo não-homogêneo é 12\sin(2x), assumimos
yp(x) = Acos(2x) + Bsin(2x)

Passo 4

Calculamos as derivadas de y_{p}:
yp' = -2Asin(2x) + 2Bcos(2x)
yp'' = -4Acos(2x) - 4Bsin(2x)
yp''' = 8Asin(2x) - 8Bcos(2x)

Passo 5

Substituímos na equação original:
yp''' - 4yp' = (8Asin(2x) - 8Bcos(2x)) - 4(-2Asin(2x) + 2Bcos(2x))
que simplifica para
16Asin(2x) - 16Bcos(2x) = 12sin(2x)
Igualando coeficientes obtém-se 16A = 12 ⇒ A = \tfrac{3}{4} e -16B = 0 ⇒ B = 0.

Passo 6

Portanto, a solução particular é
yp(x) = 34cos(2x)
E a solução geral da equação não-homogênea é
y_{h} + y_{p}.

Resposta

y(x) = C1 + C2e^2x + C3e^-2x + tfrac34cos(2x)

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