Resolva as equaçôes diferenciais lineares homogêneas:
Passo 1
O enunciado pede pra resolver a equação diferencial linear homogênea de 4ª ordem com coeficientes constantes:
O conteúdo é o método do polinômio característico e vamos precisar encontrar as raízes desse polinômio.
Passo 2
Como a EDO é homogênea e tem coeficientes constantes, a gente tenta uma solução do tipo
. Substituindo na equação, obtemos o polinômio característico:
Passo 3
Para encontrar raízes inteiras, testamos
:
Logo,
é raiz. Fazendo a divisão sintética por
nos coeficientes
, a gente obtém o quociente
Passo 4
O polinômio cúbico
é exatamente
. Então temos a raiz
com multiplicidade 3.
Passo 5
Com isso as raízes são:
•
(multiplicidade 1)
•
(multiplicidade 3)
Pela teoria de raízes repetidas, a solução geral é
Resposta
y(x)=C_{1}e^{2x} + \bigl(C_{2}+C_{3}x+C_{4}x{2}\bigr)e{-x}