Resolva as equaçôes diferenciais lineares homogêneas:
d^4 yd x^4+d^3 yd x^3-3 d^2 yd x^2-5 d yd x-2 y=0

Passo 1

O enunciado pede pra resolver a equação diferencial linear homogênea de 4ª ordem com coeficientes constantes:
d^4ydx^4 + d^3ydx^3 - 3d^2ydx^2 - 5dydx - 2y = 0
O conteúdo é o método do polinômio característico e vamos precisar encontrar as raízes desse polinômio.

Passo 2

Como a EDO é homogênea e tem coeficientes constantes, a gente tenta uma solução do tipo y=e^rx. Substituindo na equação, obtemos o polinômio característico:
r^4 + r^3 - 3r^2 - 5r - 2 = 0

Passo 3

Para encontrar raízes inteiras, testamos r=2:
2^4 + 2^3 - 3cdot2^2 - 5cdot2 - 2 = 16 + 8 - 12 - 10 - 2 = 0
Logo, r=2 é raiz. Fazendo a divisão sintética por r-2 nos coeficientes 1,,1,,-3,,-5,,-2, a gente obtém o quociente
r^3 + 3r^2 + 3r + 1

Passo 4

O polinômio cúbico r^3 + 3r^2 + 3r + 1 é exatamente (r+1)^3. Então temos a raiz r=-1 com multiplicidade 3.

Passo 5

Com isso as raízes são:
r1 = 2 (multiplicidade 1)
r2 = -1 (multiplicidade 3)
Pela teoria de raízes repetidas, a solução geral é
y(x) = C1 e^2x + (C2 + C3 x + C4 x^2)e^-x

Resposta

y(x)=C_{1}e^{2x} + \bigl(C_{2}+C_{3}x+C_{4}x{2}\bigr)e{-x}

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