Calcule os seguintes limites, se existirem:
Passo 1
O problema pede calcular o seguinte limite quando
tende a
:
Informações dadas e observações iniciais:
- A expressão é uma função racional: numerador
e denominador . - O coeficiente do termo de maior grau no numerador é
(para ) e no denominador é (para ). - A pergunta única é: qual é o valor do limite
, existe finito, infinito (positivo/negativo) ou não existe?
Passo 2
Ideia para resolver (técnica básica e segura): quando
tende a
em uma função racional, os termos de maior grau dominam o comportamento. Uma técnica direta é dividir numerador e denominador por uma potência de
que elimine os maiores graus do denominador (ou pelo maior grau presente na expressão). Aqui o maior expoente no denominador é
, então vou dividir ambos por
. Isso transforma a expressão de forma que os termos que tendem a zero fiquem explícitos.
Passo 3
Efetuando a divisão por
. Escrevo a fração como:
Passo 4
Analisar os termos que envolvem
quando
:
- Como
, temos . - Da mesma forma,
.
Portanto, passando ao limite na expressão obtida:
Aqui a aplicação é válida porque o denominador tende a
. Agora:
-
-
Logo a fração tem limite.
Passo 5
Interpretação pelo princípio dos graus (atitude rápida para a prova): como o grau do numerador (
) é maior que o grau do denominador (
) por uma unidade, a razão comporta-se assintoticamente como
. Para
isso tende a
. Essa é uma maneira alternativa de ver o mesmo resultado sem manipular frações detalhadamente.