Calcule os seguintes limites, se existirem:
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{x^{3}-8}{x^{2}-4}\

Passo 1

O problema pede calcular o seguinte limite quando x tende a -\infty:
\lim_{x\to -\infty}\frac{x^{3}-8}{x^{2}-4}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A expressão é uma função racional: numerador \,x^{3}-8 e denominador \,x^{2}-4.
  • O coeficiente do termo de maior grau no numerador é 1 (para \,x^{3}) e no denominador é 1 (para \,x^{2}).
  • A pergunta única é: qual é o valor do limite \displaystyle\lim_{x\to -\infty}\frac{x^{3}-8}{x^{2}-4}, existe finito, infinito (positivo/negativo) ou não existe?

Passo 2

Ideia para resolver (técnica básica e segura): quando x tende a \pm\infty em uma função racional, os termos de maior grau dominam o comportamento. Uma técnica direta é dividir numerador e denominador por uma potência de x que elimine os maiores graus do denominador (ou pelo maior grau presente na expressão). Aqui o maior expoente no denominador é 2, então vou dividir ambos por x^{2}. Isso transforma a expressão de forma que os termos que tendem a zero fiquem explícitos.

Passo 3

Efetuando a divisão por x^{2}. Escrevo a fração como:
\frac{x^{3}-8}{x^{2}-4} = \frac{x^{2}\!\left(x-\dfrac{8}{x^{2}}\right)}{x^{2}\!\left(1-\dfrac{4}{x^{2}}\right)} = \frac{x-\dfrac{8}{x^{2}}}{1-\dfrac{4}{x^{2}}}.

Passo 4

Analisar os termos que envolvem \dfrac{1}{x^{2}} quando x\to -\infty:
  • Como |x|\to\infty, temos \dfrac{8}{x^{2}}\to 0.
  • Da mesma forma, \dfrac{4}{x^{2}}\to 0.
    Portanto, passando ao limite na expressão obtida:
\lim_{x\to -\infty}\frac{x-\dfrac{8}{x^{2}}}{1-\dfrac{4}{x^{2}}} = \frac{\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\left(x-\dfrac{8}{x^{2}}\right)}{\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\left(1-\dfrac{4}{x^{2}}\right)}.
Aqui a aplicação é válida porque o denominador tende a 1\neq 0. Agora:
  • \displaystyle\lim_{x\to -\infty}\left(x-\dfrac{8}{x^{2}}\right)=\lim_{x\to -\infty}x - \lim_{x\to -\infty}\dfrac{8}{x^{2}} = -\infty - 0 = -\infty.
  • \displaystyle\lim_{x\to -\infty}\left(1-\dfrac{4}{x^{2}}\right)=1-0=1.
    Logo a fração tem limite \dfrac{-\infty}{1}=-\infty.

Passo 5

Interpretação pelo princípio dos graus (atitude rápida para a prova): como o grau do numerador ( 3) é maior que o grau do denominador ( 2) por uma unidade, a razão comporta-se assintoticamente como \dfrac{x^{3}}{x^{2}}=x. Para x\to -\infty isso tende a -\infty. Essa é uma maneira alternativa de ver o mesmo resultado sem manipular frações detalhadamente.

Resposta

-\infty

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