Calcule os seguintes limites, se existirem:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas: temos uma função racional (uma fração de polinómios) em
, com grau do numerador igual a
e grau do denominador igual a
. A variável
tende para
. A pergunta é se esse limite existe e, em caso afirmativo, qual é seu valor.
Passo 2
Estratégia prática (explicada passo a passo): para
os termos de maior grau dominam o comportamento de polinómios; uma forma sistemática é dividir numerador e denominador pela maior potência de
presente (aqui
). Faço essa divisão termo a termo:
Expliquei: dividi cada termo do numerador e do denominador por
, que é a maior potência que aparece.
Passo 3
Agora uso propriedades básicas de limite: se
e
existem e
, então
Vou aplicar isso com
Passo 4
Calculo as partes que faltam. Primeiro note que, intuitivamente,
quando
porque o denominador cresce sem fim e a fração vai para zero. Assim temos
Usei a linearidade do limite (o limite da soma é a soma dos limites) e o fato de constantes saírem do limite.
Passo 5
Como os limites do numerador e do denominador existem e o limite do denominador é
, aplico a regra do quociente do Passo 3:
Interpretação prática: quando os polinómios têm o mesmo grau, o limite quando
é simplesmente a razão dos coeficientes dos termos de maior grau (aqui
e
).