Calcule os seguintes limites, se existirem:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{3 x^{2}+5}{2 x^{2}+7}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to +\infty} \frac{3x^{2}+5}{2x^{2}+7}.
Informações dadas: temos uma função racional (uma fração de polinómios) em x, com grau do numerador igual a 2 e grau do denominador igual a 2. A variável x tende para +\infty. A pergunta é se esse limite existe e, em caso afirmativo, qual é seu valor.

Passo 2

Estratégia prática (explicada passo a passo): para x\to+\infty os termos de maior grau dominam o comportamento de polinómios; uma forma sistemática é dividir numerador e denominador pela maior potência de x presente (aqui x^{2}). Faço essa divisão termo a termo:
\frac{3x^{2}+5}{2x^{2}+7} = \frac{\dfrac{3x^{2}+5}{x^{2}}}{\dfrac{2x^{2}+7}{x^{2}}} = \frac{3 + \dfrac{5}{x^{2}}}{2 + \dfrac{7}{x^{2}}}.
Expliquei: dividi cada termo do numerador e do denominador por x^{2}, que é a maior potência que aparece.

Passo 3

Agora uso propriedades básicas de limite: se \lim_{x\to+\infty} A(x) e \lim_{x\to+\infty} B(x) existem e \lim_{x\to+\infty} B(x)\neq 0, então
\lim_{x\to+\infty} \frac{A(x)}{B(x)} = \frac{\lim\limits_{x\to+\infty} A(x)}{\lim\limits_{x\to+\infty} B(x)}.
Vou aplicar isso com
A(x)=3+\frac{5}{x^{2}},\qquad B(x)=2+\frac{7}{x^{2}}.

Passo 4

Calculo as partes que faltam. Primeiro note que, intuitivamente, \dfrac{1}{x^{2}}\to 0 quando x\to+\infty porque o denominador cresce sem fim e a fração vai para zero. Assim temos
\lim_{x\to+\infty} \left(3+\frac{5}{x^{2}}\right) = 3 + \lim_{x\to+\infty}\frac{5}{x^{2}} = 3 + 0 = 3,
\lim_{x\to+\infty} \left(2+\frac{7}{x^{2}}\right) = 2 + \lim_{x\to+\infty}\frac{7}{x^{2}} = 2 + 0 = 2.
Usei a linearidade do limite (o limite da soma é a soma dos limites) e o fato de constantes saírem do limite.

Passo 5

Como os limites do numerador e do denominador existem e o limite do denominador é 2\neq 0, aplico a regra do quociente do Passo 3:
\lim_{x\to+\infty} \frac{3 + \dfrac{5}{x^{2}}}{2 + \dfrac{7}{x^{2}}} = \frac{3}{2}.
Interpretação prática: quando os polinómios têm o mesmo grau, o limite quando x\to\infty é simplesmente a razão dos coeficientes dos termos de maior grau (aqui 3 e 2).

Resposta

\dfrac{3}{2}

Exercícios relacionados