Calcule os seguintes limites, se existirem:
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3 x^{2}+2}{5 x^{2}-1}

Passo 1

O enunciado pede o limite quando x vai para infinito da função racional
\frac{3x^{2}+2}{5x^{2}-1}.
Informações relevantes dadas:
\text{numerador }=3x^{2}+2,\qquad \text{denominador }=5x^{2}-1, \qquad x\to\infty.
Queremos determinar se esse limite existe e, se existir, calcular o seu valor.

Passo 2

Intuição e ideia usada (explicação didática):
Para limites quando x\to\infty de frações de polinômios (funções racionais), os termos com maior potência de x costumam dominar o comportamento. Isso ocorre porque termos como \tfrac{1}{x}, \tfrac{1}{x^{2}} etc. ficam muito pequenos quando x cresce. Portanto é útil “fatorar” ou dividir numerador e denominador pela maior potência de x que aparece (aqui é x^{2}) para ver claramente o que sobra quando x\to\infty.

Passo 3

Aplicando a técnica: dividir numerador e denominador por x^{2}. Escrevemos
\frac{3x^{2}+2}{5x^{2}-1} = \frac{\displaystyle\frac{3x^{2}+2}{x^{2}}}{\displaystyle\frac{5x^{2}-1}{x^{2}}} = \frac{3+\dfrac{2}{x^{2}}}{5-\dfrac{1}{x^{2}}}.

Passo 4

Analisar os termos que aparecem após a divisão:
Sabemos que para qualquer potência positiva p>0 vale
\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^{p}}=0.
No nosso caso p=2, então
\lim_{x\to\infty}\frac{2}{x^{2}}=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^{2}}=0.

Passo 5

Tomando limite na expressão obtida no Passo 3 e usando os limites do Passo 4, pela propriedade do limite de uma razão (quando o limite do denominador não é zero) temos
\lim_{x\to\infty}\frac{3+\dfrac{2}{x^{2}}}{5-\dfrac{1}{x^{2}}} = \frac{3+0}{5-0}=\frac{3}{5}.
Portanto o limite existe e é \dfrac{3}{5}. Intuitivamente, isso é igual à razão dos coeficientes dos termos de maior grau ( 3 em 3x^{2} e 5 em 5x^{2}).

Passo 6

Método alternativo (mesma ideia, só escrita diferente): fatorando x^{2} do numerador e do denominador,
\frac{3x^{2}+2}{5x^{2}-1}=\frac{x^{2}\left(3+\dfrac{2}{x^{2}}\right)}{x^{2}\left(5-\dfrac{1}{x^{2}}\right)} =\frac{3+\dfrac{2}{x^{2}}}{5-\dfrac{1}{x^{2}}},
e prosseguimos como antes para obter \dfrac{3}{5}.

Passo 7

Cheque rápido para verificação numérica (conforto mental): para x=1000,
\frac{3(1000)^{2}+2}{5(1000)^{2}-1}=\frac{3{,}000{,}002}{5{,}000{,}000-1}\approx\frac{3{,}000{,}002}{4{,}999{,}999}\approx 0{,}6,
e \dfrac{3}{5}=0{,}6. Isso confirma que a resposta faz sentido para x grande.

Resposta

\dfrac{3}{5}

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