Calcule os seguintes limites, se existirem:
Passo 1
O enunciado pede o limite quando
vai para infinito da função racional
Informações relevantes dadas:
Queremos determinar se esse limite existe e, se existir, calcular o seu valor.
Passo 2
Intuição e ideia usada (explicação didática):
Para limites quando de frações de polinômios (funções racionais), os termos com maior potência de
costumam dominar o comportamento. Isso ocorre porque termos como
,
etc. ficam muito pequenos quando
cresce. Portanto é útil “fatorar” ou dividir numerador e denominador pela maior potência de
que aparece (aqui é
) para ver claramente o que sobra quando
.
Para limites quando
Passo 3
Aplicando a técnica: dividir numerador e denominador por
. Escrevemos
Passo 4
Analisar os termos que aparecem após a divisão:
Sabemos que para qualquer potência positiva vale
Sabemos que para qualquer potência positiva
No nosso caso
, então
Passo 5
Tomando limite na expressão obtida no Passo 3 e usando os limites do Passo 4, pela propriedade do limite de uma razão (quando o limite do denominador não é zero) temos
Portanto o limite existe e é
. Intuitivamente, isso é igual à razão dos coeficientes dos termos de maior grau (
em
e
em
).
Passo 6
Método alternativo (mesma ideia, só escrita diferente): fatorando
do numerador e do denominador,
e prosseguimos como antes para obter
.
Passo 7
Cheque rápido para verificação numérica (conforto mental): para
,
e
. Isso confirma que a resposta faz sentido para
grande.