Calcule os seguintes limites, se existirem:
lim x 2 x^3+x^2-8 x+4x-2

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto 2x^3+x^2-8x+4x-2
Trata-se de um caso clássico de polinômio sobre polinômio que, ao substituir diretamente, gera forma indeterminada tfrac00. Para resolver, vamos usar fatoração do numerador.

Passo 2

Substituindo x=2 no numerador e no denominador:
numerador = 2^3+2^2-8cdot2+4 = 8+4-16+4 = 0,
denominador = 2-2=0.
Logo temos a forma indeterminada
00

Passo 3

Para eliminar a indeterminação, dividimos o polinômio x^3+x^2-8x+4 por x-2. Pela divisão sintética com x=2 (coeficientes 1,1,-8,4), obtemos quociente x^2+3x-2 e resto zero. Portanto
x^3+x^2-8x+4 = (x-2),(x^2+3x-2)

Passo 4

Substituindo essa fatoração no limite, temos
limxto 2(x-2),(x^2+3x-2)x-2 =limxto 2(x^2+3x-2)
Como agora a função é contínua em x=2, basta avaliar:
2^2+3cdot2-2 = 4+6-2 = 8

Resposta

,8

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