Determine se os subconjuntos do R^2 abaixo são ou não são gráficos de alguma função:
(x, y) in R^2 ; x^2+y^2-2 x=0.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
(x,y)inR^2mid x^2+y^2-2x=0
pode ser o gráfico de uma função real y=f(x). Para isso, vamos usar o critério de que, para cada abscissa x, deve existir uma única ordenada y.

Passo 2

Reescrevendo a equação por completamento de quadrado em x:
x^2 - 2x + y^2 = 0 Longrightarrow (x-1)^2 + y^2 = 1
Isso mostra que o conjunto é a circunferência de centro (1,0) e raio 1.

Passo 3

Aplicando o “teste da reta vertical”: para cada x no intervalo aberto (0,2), a reta x=constante intercepta a circunferência em dois pontos distintos, com ordenadas
y = +raiz,1-(x-1)^2e y = -raiz,1-(x-1)^2
Como há duas possíveis y para o mesmo x, falha-se na unicidade exigida para um gráfico de função y=f(x).

Passo 4

Concluímos que o conjunto dado não satisfaz o critério de associação única abscissa–ordenada e, portanto, não é o gráfico de nenhuma função real y=f(x).
Nota: se quiséssemos, poderíamos separar em dois semicírculos
y = pmraiz,1-(x-1)^2, xin[0,2],
cada um isoladamente é gráfico de função, mas a circunferência completa não é.

Resposta

O conjunto não é o gráfico de nenhuma função.

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