Calcule os seguintes limites, se existirem:
lim x 1|x^2-1| 2^cos (11-x)

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto1llvert x^2-1rrvert,2^cos!l(tfrac11-xr)
O conteúdo é limite de produto de uma função que tende a zero e de uma função oscilante mas limitada. Usaremos o Teorema do Confronto.

Passo 2

Note que
x^2-1=(x-1)(x+1)
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llvert x^2-1rrvert=lvert x-1rvert,lvert x+1rvert
Como limxto1(x+1)=2, segue
limxto1llvert x^2-1rrvert =limxto1l(lvert x-1rvert,lvert x+1rvertr) =0

Passo 3

O fator exponencial
2^cos!l(tfrac11-xr)
satisfaz -1<=cos!(1/(1-x))<=1. Assim
2^-1<=2^cos!l(tfrac11-xr)<=2^1,
isto é,
tfrac12<=2^cos(1/(1-x))<=2.

Passo 4

Multiplicando por llvert x^2-1rrvert>=0 obtemos
tfrac12,llvert x^2-1rrvert ;<=; llvert x^2-1rrvert,2^cos!l(tfrac11-xr) ;<=; 2,llvert x^2-1rrvert
Como limxto1llvert x^2-1rrvert=0, pelo Teorema do Confronto concluímos que
limxto1llvert x^2-1rrvert,2^cos!l(tfrac11-xr) =0

Resposta

0

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