Calcule os seguintes limites, se existirem:
\lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{1}{2-x^{2}}-\frac{1}{4-x^{3}}\right)

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to 1}\left(\frac{1}{2-x^{2}}-\frac{1}{4-x^{3}}\right).
Informações dadas:
  • A expressão é a diferença de duas funções racionais \dfrac{1}{2-x^{2}} e \dfrac{1}{4-x^{3}}.
  • O ponto de interesse é x=1.
    O que é pedido: calcular o valor do limite quando x tende a 1.

Passo 2

Verificar se é possível aplicar substituição direta (ou seja, se as duas frações estão definidas em x=1). Calcula-se os denominadores em x=1:
2 - 1^{2} = 2 - 1 = 1, \qquad 4 - 1^{3} = 4 - 1 = 3.
Ambos os denominadores são diferentes de zero, então as frações são bem definidas em x=1.

Passo 3

Justificativa teórica (leis que vou usar): polinômios são funções contínuas em todo ponto; quociente de duas funções contínuas é contínuo no ponto onde o denominador é diferente de zero. Assim, cada uma das funções \dfrac{1}{2-x^{2}} e \dfrac{1}{4-x^{3}} é contínua em x=1. A diferença de funções contínuas é contínua. Portanto o limite da diferença é igual à diferença dos valores em x=1. Em símbolos:
\lim_{x\to 1}\left(\frac{1}{2-x^{2}}-\frac{1}{4-x^{3}}\right) = \frac{1}{2-1^{2}}-\frac{1}{4-1^{3}}.

Passo 4

Calcular os valores numéricos:
\frac{1}{2-1^{2}}=\frac{1}{1}=1, \qquad \frac{1}{4-1^{3}}=\frac{1}{3}.
Fazendo a diferença com denominador comum:
1-\frac{1}{3}=\frac{3}{3}-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.

Passo 5

(Verificação alternativa por combinação algébrica) Unindo as frações em um único quociente para verificação:
\frac{1}{2-x^{2}}-\frac{1}{4-x^{3}} = \frac{4-x^{3}-(2-x^{2})}{(2-x^{2})(4-x^{3})} = \frac{2+x^{2}-x^{3}}{(2-x^{2})(4-x^{3})}.
Substituindo x=1 na forma final dá numerador 2+1-1=2 e denominador (1)(3)=3, o que confirma \dfrac{2}{3}.

Resposta

\dfrac{2}{3}

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