Calcule os seguintes limites, se existirem:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações e observações dadas pelo enunciado:
- A função considerada é
. - O limite é quando
tende a (pela direita e esquerda). - Domínio da raiz:
está definida para , isto é, para . Portanto podemos aproximar por vindo de ambos os lados dentro desse intervalo. - Possível ponto problemático para a expressão é quando o denominador é zero:
ocorre se , isto é, . Esse ponto não é , então não impede o limite em .
Passo 2
Estratégia para resolver (explicada de forma prática): quando aparece uma expressão com
no denominador, uma técnica padrão é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado
. Isso elimina a raiz do denominador e permite simplificar a expressão, possibilitando calcular o limite por substituição direta se a nova expressão for contínua em
.
Breve explicação do porquê do conjugado:
- O “conjugado” de
é . Multiplicando obtém-se , que remove a raiz quando e é um número simples.
Passo 3
Aplicando a multiplicação por
(que é
, logo não altera a expressão), temos:
Passo 4
Simplificamos o denominador usando a identidade de diferença de quadrados:
Portanto a expressão fica
válida para todo
tal que
e
. Note que em torno de
essas condições são satisfeitas (em particular
).
Passo 5
Agora usamos o fato de que as funções
e
são contínuas em
, e uma razão de funções contínuas com denominador não nulo é contínua. Assim o limite da expressão simplificada pode ser obtido por substituição direta:
Comentário amigável: como não há divisão por zero quando
tende a
e a raiz é bem comportada, a técnica de racionalizar nos levou a uma forma em que só precisamos “substituir”
.
Passo 6
Verificação final de consistência:
- A expressão original está definida em vizinhança de
(exceto em , que está longe de ). - A transformação por conjugado foi legítima para
próximos de (porque aí). - Logo o limite existe e é o valor encontrado.