Calcule os seguintes limites, se existirem:
\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\sqrt{2+x}-1}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{\sqrt{2+x}-1}\right).
Informações e observações dadas pelo enunciado:
  • A função considerada é f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2+x}-1}.
  • O limite é quando x tende a 0 (pela direita e esquerda).
  • Domínio da raiz: \sqrt{2+x} está definida para 2+x\ge 0, isto é, para x\ge -2. Portanto podemos aproximar x por 0 vindo de ambos os lados dentro desse intervalo.
  • Possível ponto problemático para a expressão é quando o denominador é zero: \sqrt{2+x}-1=0 ocorre se 2+x=1, isto é, x=-1. Esse ponto não é 0, então não impede o limite em 0.

Passo 2

Estratégia para resolver (explicada de forma prática): quando aparece uma expressão com \sqrt{\cdot}-1 no denominador, uma técnica padrão é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado \sqrt{2+x}+1. Isso elimina a raiz do denominador e permite simplificar a expressão, possibilitando calcular o limite por substituição direta se a nova expressão for contínua em x=0.
Breve explicação do porquê do conjugado:
  • O “conjugado” de a-b é a+b. Multiplicando (a-b)(a+b) obtém-se a^2-b^2, que remove a raiz quando a=\sqrt{\cdot} e b é um número simples.

Passo 3

Aplicando a multiplicação por \dfrac{\sqrt{2+x}+1}{\sqrt{2+x}+1} (que é 1, logo não altera a expressão), temos:
\frac{1}{\sqrt{2+x}-1}\cdot\frac{\sqrt{2+x}+1}{\sqrt{2+x}+1} = \frac{\sqrt{2+x}+1}{(\sqrt{2+x}-1)(\sqrt{2+x}+1)}.

Passo 4

Simplificamos o denominador usando a identidade de diferença de quadrados:
(\sqrt{2+x}-1)(\sqrt{2+x}+1)=(\sqrt{2+x})^2-1^2= (2+x)-1 = 1+x.
Portanto a expressão fica
\frac{1}{\sqrt{2+x}-1}=\frac{\sqrt{2+x}+1}{1+x},
válida para todo x tal que 1+x\neq 0 e 2+x\ge0. Note que em torno de x=0 essas condições são satisfeitas (em particular 1+0=1\neq0).

Passo 5

Agora usamos o fato de que as funções \sqrt{2+x} e g(x)=1+x são contínuas em x=0, e uma razão de funções contínuas com denominador não nulo é contínua. Assim o limite da expressão simplificada pode ser obtido por substituição direta:
\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{2+x}+1}{1+x}=\frac{\sqrt{2+0}+1}{1+0}=\frac{\sqrt{2}+1}{1}=\sqrt{2}+1.
Comentário amigável: como não há divisão por zero quando x tende a 0 e a raiz é bem comportada, a técnica de racionalizar nos levou a uma forma em que só precisamos “substituir” x=0.

Passo 6

Verificação final de consistência:
  • A expressão original está definida em vizinhança de 0 (exceto em x=-1, que está longe de 0).
  • A transformação por conjugado foi legítima para x próximos de 0 (porque \sqrt{2+x}+1>0 aí).
  • Logo o limite existe e é o valor encontrado.

Resposta

\sqrt{2}+1

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