Ache o resto da divisão euclidiana de a por b nos seguintes casos:
a=3^{10} \cdot 42^{5}+6^{6} e b=5.

Passo 1

O enunciado dá os números
a=3^{10}\cdot 42^{5}+6^{6} \qquad\text{e}\qquad b=5
e pede: encontrar o resto da divisão euclidiana de a por b.
Em outras palavras: calcular o resto de a na divisão por 5, isto é, encontrar r tal que
0\le r\le4\quad\text{e}\quad a\equiv r\pmod{5}.

Passo 2

Rápida aula sobre o que vamos usar (sem pânico, é direto):
  • Dizer que dois inteiros x e y são congruentes módulo 5 significa que 5 divide x-y. Escreve-se x\equiv y\pmod{5}.
  • Propriedades úteis:
    • Pode reduzir a base de potências módulo 5: se x\equiv x_0\pmod{5} então x^n\equiv x_0^n\pmod{5}.
    • Produto e soma preservam congruência: se x\equiv x_0 e y\equiv y_0 então xy\equiv x_0y_0 e x+y\equiv x_0+y_0 (tudo módulo 5).
  • Teorema de Fermat (caso prático): para primo p=5 e inteiro c não múltiplo de 5, c^{p-1}=c^{4}\equiv 1\pmod{5}.Isso facilita calcular potências grandes reduzindo o expoente módulo 4.

Passo 3

Reduzimos cada base módulo 5 antes de elevar:
3\equiv 3\pmod{5},\qquad 42\equiv 2\pmod{5}\quad(\text{pois peguei }42\text{ da expressão}),\qquad 6\equiv 1\pmod{5}.ã

Passo 4

Calcular 3^{10}\pmod{5}. Usamos Fermat: como 3^{4}\equiv1\pmod{5}, escrevemos 10=4\cdot2+2 e obtemos
3^{10}=(3^{4})^{2}\cdot 3^{2}\equiv 1^{2}\cdot 3^{2}\equiv 3^{2}\pmod{5}.
Agora 3^{2}=9, e
9\equiv 4\pmod{5}.
Logo
3^{10}\equiv 4\pmod{5}.

Passo 5

Calcular 42^{5}\pmod{5}. Como 42\equiv2\pmod{5}, basta achar 2^{5} módulo 5. Note que 2^{4}\equiv1\pmod{5} (pela mesma ideia), então
2^{5}=2^{4}\cdot2\equiv 1\cdot2\equiv 2\pmod{5}.
Portanto
42^{5}\equiv 2\pmod{5}.

Passo 6

Multiplicando as partes, temos
3^{10}\cdot 42^{5}\equiv 4\cdot 2=8\pmod{5}.
E 8\equiv 3\pmod{5}. Logo a primeira parcela inteira da soma é congruente a 3 módulo 5.

Passo 7

Calcular 6^{6}\pmod{5}. Como 6\equiv1\pmod{5}, temos
6^{6}\equiv 1^{6}\equiv 1\pmod{5}.

Passo 8

Somamos as duas contribuições módulo 5:
a=3^{10}\cdot 42^{5}+6^{6}\equiv 3+1\equiv 4\pmod{5}.
Isso significa que o resto da divisão de a por 5 é 4.

Resposta

4

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