Calcule os seguintes limites, se existirem:
lim x 1^- xx-1raizx

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite lateral esquerdo limxto1^-dfracxx - tfrac1raizx. O assunto é limites envolvendo forma indeterminada e vamos precisar manipular a expressão para ver seu comportamento quando x se aproxima de 1 por valores menores.

Passo 2

Primeiro, elimino a fração no denominador multiplicando numerador e denominador por raizx:
xx - tfrac1raizx = x cdot raizxl(x - tfrac1raizxr)raizx = xraizxxraizx - 1
Agora observo o sinal e a ordem de pequeno de cada parte quando xto1^-. Note que para x<1 temos xraizx<1, logo o denominador xraizx-1 é negativo e tende a zero.

Passo 3

Para ver a ordem de pequenez, faço x=1-h com h>0 pequeno. Então
xraizx = (1-h)raiz1-h approx (1-h)l(1 - tfrach2r) = 1 - tfrac3h2 + o(h)
e assim o denominador
$$
x\sqrt{x} - 1 \approx -\tfrac{3h}{2}. xraizx - 1 approx -tfrac3h2ã\frac{x\sqrt{x}}{x\sqrt{x}-1} \approx \frac{1}{-\tfrac{3h}{2}} = -\frac{2}{3h} \to -\infty \quad(h\to0^+).$$

Resposta

-\infty

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