Considere o círculo
e a Elipse
.
Encontre uma transformação
que mapeia o círculo
na Elipse
bijetivamente.
Encontre uma transformação
Passo 1
O enunciado pede uma função bijetiva
que leva o disco unitário C definido por
na elipse E dada por
. Para resolver, vamos usar a ideia de escalonamento dos eixos coordenados.
Passo 2
Para mapear o círculo em cada direção do plano de forma a obter a elipse, definimos a transformação linear que estica o eixo
em
e o eixo
em
:
Passo 3
Agora verificamos que essa
realmente leva
em
e é bijetiva. Se
, então
o que mostra
. Além disso, a inversa é
que leva qualquer ponto de
de volta em
, garantindo injetividade e sobrejetividade.
Passo 4
Dessa forma, mostramos que
mapeia
bijetivamente em
.