Considere o círculo C: u^2+v^2 <= 1 e a Elipse E: x^2a^2+v^2b^2 <= 1.
Encontre uma transformação varphi: C E que mapeia o círculo C na Elipse E bijetivamente.

Passo 1

O enunciado pede uma função bijetiva varphicolon Cto E que leva o disco unitário C definido por u^2+v^2<=1 na elipse E dada por x^2/a^2+y^2/b^2<=1. Para resolver, vamos usar a ideia de escalonamento dos eixos coordenados.

Passo 2

Para mapear o círculo em cada direção do plano de forma a obter a elipse, definimos a transformação linear que estica o eixo u em a e o eixo v em b:
varphi(u,v) = (a,u,;b,v)

Passo 3

Agora verificamos que essa varphi realmente leva C em E e é bijetiva. Se (u,v)in C, então
(a u)^2a^2+(b v)^2b^2 = u^2+v^2 <= 1,
o que mostra varphi(u,v)in E. Além disso, a inversa é
varphi^-1(x,y) = l(x/a,;y/br),
que leva qualquer ponto de E de volta em C, garantindo injetividade e sobrejetividade.

Passo 4

Dessa forma, mostramos que varphi mapeia C bijetivamente em E.

Resposta

varphi(u,v) = (a,u,;b,v)

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