Esboce o conjunto onde a função f está sendo integrada e inverta a ordem de integração
integral0^3 integralx^2-2 x^raiz3 x f(x, y) d y d x

Passo 1

O enunciado pede pra inverter a ordem de integração de . Vamos esboçar a região de integração e depois reescrever o integral trocando e .

Passo 2

A região 0<= x<=3, x^2-2x<= y<= raiz3x está definida por
y=x^2-2x e y=raiz3x
As curvas de fronteira são

Passo 3

Para achar os pontos de interseção, resolvemos
x^2-2x=raiz3x
Fazendo a substituição , achamos as soluções (logo ) e (logo ). Então os vértices da região são e .

Passo 4

Para inverter a ordem, fixamos x=1pmraiz1+y e vemos os limites em :
  1. De vem
  2. De resolvemos , cujas raízes são
Como , o limite superior em é
.

Passo 5

O valor de integral0^3integralx^2-2x^raiz3xf(x,y),dy,dx =integraly=0^3integralx=!y^2/3^1+raiz1+yf(x,y),dx,dy na região vai do mínimo ao máximo . Assim, invertendo a ordem, temos

Resposta

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