Calcule os seguintes limites, se existirem.
\lim _{(x, y) \rightarrow(2,1)} \frac{3 x^{3}-2 x^{2} y+3 y^{2} x-2 y^{3}}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem começar a resolver ainda.
  • O enunciado pede o limite quando (x,y)\to(2,1) da função
\frac{3x^{3}-2x^{2}y+3y^{2}x-2y^{3}}{x^{2}+y^{2}}.
  • Informações úteis fornecidas:
    • O numerador é o polinômio \;3x^{3}-2x^{2}y+3y^{2}x-2y^{3}\;.
    • O denominador é a função \;x^{2}+y^{2}\;.
    • O ponto de interesse é (2,1).

Passo 2

Escolhendo o método: para limites de funções racionais (quociente de polinômios) em pontos onde o denominador não é zero, a maneira direta e mais simples é usar a propriedade da continuidade — isto é, avaliar cada polinômio no ponto e tomar o quociente. Vou explicar cuidadosamente esta ideia.
A regra (teorema) que vou usar diz:
  • Polinômios são funções contínuas em todo lugar. Isso significa que, para um polinômio p(x,y),
\lim_{(x,y)\to(a,b)} p(x,y) = p(a,b).
  • Se g e h são contínuas em (a,b) e h(a,b)\neq 0, então a função quociente g/h é contínua em (a,b) e
\lim_{(x,y)\to(a,b)} \frac{g(x,y)}{h(x,y)} = \frac{g(a,b)}{h(a,b)}.
Portanto, primeiro preciso verificar se o denominador \;x^{2}+y^{2}\; vale zero ou não em (2,1). Vou calcular esse valor no próximo passo.

Passo 3

Calcular o valor do denominador em (2,1).
  • Avaliando \;x^{2}+y^{2}\; em (x,y)=(2,1):
(2)^{2}+(1)^{2} = 4 + 1 = 5.
  • Como \;5 \neq 0\;, o denominador não é zero em (2,1). Logo, a hipótese do teorema do quociente contínuo está satisfeita.

Passo 4

Avaliar o numerador em (2,1) passo a passo e aplicar o teorema.
  • Avaliando cada termo do numerador \;3x^{3}-2x^{2}y+3y^{2}x-2y^{3}\; em (2,1):
    • 3x^{3} em (2,1) é 3\cdot(2)^{3}=3\cdot 8=24.
    • -2x^{2}y em (2,1) é -2\cdot(2)^{2}\cdot 1=-2\cdot 4\cdot 1=-8.
    • 3y^{2}x em (2,1) é 3\cdot(1)^{2}\cdot 2=3\cdot 1\cdot 2=6.
    • -2y^{3} em (2,1) é -2\cdot(1)^{3}=-2.
  • Somando os termos: 24 + (-8) + 6 + (-2) = 20.
Pelo teorema da continuidade (polinômios contínuos e denominador não zero), o limite pedido é igual ao quociente dos valores avaliados no ponto, ou seja, é
\frac{20}{5}.

Resposta

4

Exercícios relacionados