Calcule a transformada de Laplace de:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace da função
.
Informações fornecidas e o que se busca:
Informações fornecidas e o que se busca:
- Função:
, definida para . - Quer-se
, ou seja, uma função de . - Admitir que
é um número complexo com (condição necessária para a convergência da integral).
Passo 2
Definição da transformada de Laplace e explicação das variáveis (aulas rápidas):
- A transformada de Laplace de uma função
é definida por
onde
é a variável de tempo (real,
) e
é a variável complexa da transformada.
- A condição
garante que o fator decai suficientemente rápido quando para tornar a integral convergente (isso é importante quando cresce polinomialmente, como ).
Passo 3
Aplicar a definição ao caso
. Escrevemos a integral que precisamos calcular:
Estratégia: calcular essa integral imprópria por integração por partes, que é uma técnica para integrar produtos. A fórmula de integração por partes é
onde escolhemos funções
e
de modo conveniente.
Passo 4
Primeira integração por partes. Escolha
Então
Aplicando integração por partes na integral original:
Agora avaliaremos o termo de contorno e a integral restante:
- O termo de contorno é
Para
tem-se
(a exponencial decai mais rápido que qualquer polinômio), e o termo em
é zero. Logo o termo de contorno é
.
- A integral restante fica
Portanto reduzimos o problema ao cálculo de
.
Passo 5
Segunda integração por partes para
. Escolha
Então
Aplicando integração por partes:
Avaliação dos termos:
- O termo de contorno apresenta
e em é zero, então o termo de contorno é . - A integral restante é
Mas
para
. Portanto
Passo 6
Reescrevendo o resultado obtido no Passo 4 com o valor encontrado:
Portanto a transformada de Laplace é
para
.
Comentário didático extra (útil para prova): existe uma fórmula geral para potências inteiras não-negativas:
No caso
isso dá
, consistente com o que acabamos de calcular.