Calcule a transformada de Laplace de:
\mathcal{L}\left\{t^{2}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace da função t^{2}.
Informações fornecidas e o que se busca:
  • Função: f(t)=t^{2}, definida para t\ge 0.
  • Quer-se \mathcal{L}\{t^{2}\}(s), ou seja, uma função de s.
  • Admitir que s é um número complexo com \Re(s)>0 (condição necessária para a convergência da integral).

Passo 2

Definição da transformada de Laplace e explicação das variáveis (aulas rápidas):
  • A transformada de Laplace de uma função f(t) é definida por
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} f(t)\,e^{-s t}\,dt,
onde t é a variável de tempo (real, t\ge0) e s é a variável complexa da transformada.
  • A condição \Re(s)>0 garante que o fator e^{-st} decai suficientemente rápido quando t\to\infty para tornar a integral convergente (isso é importante quando f(t) cresce polinomialmente, como t^{2}).

Passo 3

Aplicar a definição ao caso f(t)=t^{2}. Escrevemos a integral que precisamos calcular:
\mathcal{L}\{t^{2}\}(s)=\int_{0}^{\infty} t^{2} e^{-s t}\,dt,\qquad \Re(s)>0.
Estratégia: calcular essa integral imprópria por integração por partes, que é uma técnica para integrar produtos. A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde escolhemos funções u e dv de modo conveniente.

Passo 4

Primeira integração por partes. Escolha
u=t^{2},\qquad dv=e^{-s t}\,dt.
Então
du = 2t\,dt,\qquad v = -\frac{1}{s} e^{-s t}.
Aplicando integração por partes na integral original:
\int_{0}^{\infty} t^{2} e^{-s t}\,dt = \left[ t^{2}\left(-\frac{1}{s}e^{-s t}\right)\right]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty}\left(-\frac{1}{s}e^{-s t}\right)(2t\,dt).
Agora avaliaremos o termo de contorno e a integral restante:
  • O termo de contorno é
\lim_{T\to\infty}\left(-\frac{T^{2}}{s}e^{-s T}\right) - \left(-\frac{0^{2}}{s}e^{-s\cdot 0}\right).
Para \Re(s)>0 tem-se \lim_{T\to\infty}T^{2}e^{-sT}=0 (a exponencial decai mais rápido que qualquer polinômio), e o termo em t=0 é zero. Logo o termo de contorno é 0.
  • A integral restante fica
\int_{0}^{\infty} t^{2} e^{-s t}\,dt = \frac{2}{s}\int_{0}^{\infty} t\,e^{-s t}\,dt.
Portanto reduzimos o problema ao cálculo de \int_{0}^{\infty} t e^{-s t}\,dt.

Passo 5

Segunda integração por partes para \int_{0}^{\infty} t e^{-s t}\,dt. Escolha
u=t,\qquad dv=e^{-s t}\,dt.
Então
du=dt,\qquad v=-\frac{1}{s}e^{-s t}.
Aplicando integração por partes:
\int_{0}^{\infty} t e^{-s t}\,dt = \left[ t\left(-\frac{1}{s}e^{-s t}\right)\right]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty}\left(-\frac{1}{s}e^{-s t}\right)(1\,dt).
Avaliação dos termos:
  • O termo de contorno apresenta \lim_{T\to\infty} T e^{-sT}=0 e em t=0 é zero, então o termo de contorno é 0.
  • A integral restante é
\int_{0}^{\infty} t e^{-s t}\,dt = \frac{1}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,dt.
Mas
\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,dt = \left[-\frac{1}{s}e^{-s t}\right]_{0}^{\infty} = \frac{1}{s},
para \Re(s)>0. Portanto
\int_{0}^{\infty} t e^{-s t}\,dt = \frac{1}{s}\cdot\frac{1}{s} = \frac{1}{s^{2}}.

Passo 6

Reescrevendo o resultado obtido no Passo 4 com o valor encontrado:
\int_{0}^{\infty} t^{2} e^{-s t}\,dt = \frac{2}{s}\cdot\frac{1}{s^{2}} = \frac{2}{s^{3}}.
Portanto a transformada de Laplace é \dfrac{2}{s^{3}} para \Re(s)>0.
Comentário didático extra (útil para prova): existe uma fórmula geral para potências inteiras não-negativas:
\mathcal{L}\{t^{n}\}(s)=\frac{n!}{s^{n+1}},\qquad n\in\{0,1,2,\dots\},\\ \Re(s)>0.
No caso n=2 isso dá \dfrac{2!}{s^{3}}=\dfrac{2}{s^{3}}, consistente com o que acabamos de calcular.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{t^{2}\}(s)=\frac{2}{s^{3}},\\ \Re(s)>0

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