Mostre que os limites abaixo não existem.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o limite
não existe. As informações dadas são apenas a expressão da função de duas variáveis e o ponto para o qual
tende:
. Não há imagens nem dados numéricos adicionais.
O objetivo é provar que o limite não existe.
Passo 2
Breve lembrança sobre o que significa “limite em duas variáveis” (aula rápida e necessária).
- Dizemos que
se, para qualquer sequência de pontos no domínio de com , os valores tendem para o mesmo número . - Uma técnica prática para provar que um limite NÃO existe é mostrar duas (ou mais) maneiras de aproximar
produzindo limites diferentes; nesse caso a definição anterior é violada e o limite não existe.
Por isso vou testar aproximações ao longo de retas que passam pela origem, ou seja, caminhos do tipo
com
fixo. Essa escolha é natural aqui porque o numerador e o denominador têm potências inteiras pares/ímpares e ambos são de mesma ordem em
e
quando
é proporcional a
; assim a substituição
costuma simplificar.
Passo 3
Aproximação ao longo da reta
com
fixo (e
, veremos por quê).
Substituindo na função temos, para
,
Substituindo
Agora simplificamos potências de
. Calculando os termos:
Logo, para
e
,
Observe que a simplificação por
é válida porque estamos aproximando
por pontos com
; a igualdade mostra que, ao aproximar pela reta
(com
), o valor da função é constante ao longo dessa reta (quando
varia) e igual a
. Portanto o limite ao longo dessa reta, se existir, é exatamente esse número.
Passo 4
Agora computei valores para pelo menos dois
distintos para mostrar que os limites ao longo de caminhos diferentes são diferentes.
- Tomando
(ou seja, a reta ) obtemos, pela fórmula anterior,
Logo o limite ao longo de
é
.
- Tomando
(reta ) obtemos
Logo o limite ao longo de
é
.
Esses dois valores são diferentes (
e
), portanto a função tende a valores diferentes quando se aproxima de
por caminhos distintos.
Passo 5
Comentário sobre a reta
: para
temos
, ou seja, o denominador se anula para todos os pontos sobre
(exceto possivelmente na origem), então a função não está definida na reta
. Isso não atrapalha a prova: basta encontrar dois caminhos no domínio da função que levem a dois limites distintos (como fizemos com
e
). A existência de uma reta onde a função é indefinida só reforça que o comportamento pode ser mais complicado em certas direções, mas não impede o argumento já apresentado.
Passo 6
Conclusão final do raciocínio: como existem dois caminhos (por exemplo
e
) que aproximam
e dão limites diferentes para a expressão, a definição de limite em duas variáveis falha. Portanto o limite pedido não existe.
Resposta
O limite não existe.