Mostre que os limites abaixo não existem.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{3 x^{2} y^{3}}{2 y^{5}-2 x^{5}}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{3x^{2}y^{3}}{2y^{5}-2x^{5}}
não existe. As informações dadas são apenas a expressão da função de duas variáveis e o ponto para o qual (x,y) tende: (0,0). Não há imagens nem dados numéricos adicionais.
O objetivo é provar que o limite não existe.

Passo 2

Breve lembrança sobre o que significa “limite em duas variáveis” (aula rápida e necessária).
  • Dizemos que \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=L se, para qualquer sequência de pontos (x_n,y_n) no domínio de f com (x_n,y_n)\to(0,0), os valores f(x_n,y_n) tendem para o mesmo número L.
  • Uma técnica prática para provar que um limite NÃO existe é mostrar duas (ou mais) maneiras de aproximar (0,0) produzindo limites diferentes; nesse caso a definição anterior é violada e o limite não existe.
Por isso vou testar aproximações ao longo de retas que passam pela origem, ou seja, caminhos do tipo \,y=mx\, com m fixo. Essa escolha é natural aqui porque o numerador e o denominador têm potências inteiras pares/ímpares e ambos são de mesma ordem em x e y quando y é proporcional a x; assim a substituição y=mx costuma simplificar.

Passo 3

Aproximação ao longo da reta \,y=mx com m fixo (e m\neq 1, veremos por quê).
Substituindo y=mx na função temos, para x\neq0,
\frac{3x^{2}y^{3}}{2y^{5}-2x^{5}} = \frac{3x^{2}(mx)^{3}}{2(mx)^{5}-2x^{5}}.
Agora simplificamos potências de x. Calculando os termos:
3x^{2}(mx)^{3}=3m^{3}x^{5}, \qquad 2(mx)^{5}-2x^{5}=2x^{5}(m^{5}-1).
Logo, para x\neq0 e m^{5}\neq1,
\frac{3x^{2}y^{3}}{2y^{5}-2x^{5}} = \frac{3m^{3}x^{5}}{2x^{5}(m^{5}-1)} = \frac{3m^{3}}{2(m^{5}-1)}.
Observe que a simplificação por x^{5} é válida porque estamos aproximando (0,0) por pontos com x\neq0; a igualdade mostra que, ao aproximar pela reta y=mx (com m^{5}\neq1), o valor da função é constante ao longo dessa reta (quando x varia) e igual a \dfrac{3m^{3}}{2(m^{5}-1)}. Portanto o limite ao longo dessa reta, se existir, é exatamente esse número.

Passo 4

Agora computei valores para pelo menos dois m distintos para mostrar que os limites ao longo de caminhos diferentes são diferentes.
  • Tomando m=0 (ou seja, a reta y=0) obtemos, pela fórmula anterior,
\frac{3\cdot 0^{3}}{2(0^{5}-1)}=\frac{0}{2(-1)}=0.
Logo o limite ao longo de y=0 é 0.
  • Tomando m=2 (reta y=2x) obtemos
\frac{3\cdot 2^{3}}{2(2^{5}-1)}=\frac{3\cdot 8}{2(32-1)}=\frac{24}{2\cdot 31}=\frac{24}{62}=\frac{12}{31}.
Logo o limite ao longo de y=2x é \dfrac{12}{31}.
Esses dois valores são diferentes ( 0 e \dfrac{12}{31}), portanto a função tende a valores diferentes quando se aproxima de (0,0) por caminhos distintos.

Passo 5

Comentário sobre a reta y=x: para m=1 temos m^{5}-1=0, ou seja, o denominador se anula para todos os pontos sobre y=x (exceto possivelmente na origem), então a função não está definida na reta y=x. Isso não atrapalha a prova: basta encontrar dois caminhos no domínio da função que levem a dois limites distintos (como fizemos com m=0 e m=2). A existência de uma reta onde a função é indefinida só reforça que o comportamento pode ser mais complicado em certas direções, mas não impede o argumento já apresentado.

Passo 6

Conclusão final do raciocínio: como existem dois caminhos (por exemplo y=0 e y=2x) que aproximam (0,0) e dão limites diferentes para a expressão, a definição de limite em duas variáveis falha. Portanto o limite pedido não existe.

Resposta

O limite não existe.

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