Mostre que os limites abaixo não existem.
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que temos.
- Pede-se mostrar que o limite
não existe.
- A função dada é
, definida para (no ponto a expressão é indefinida). - Objetivo: provar que, ao nos aproximarmos de
por diferentes caminhos, não se obtém um mesmo valor finito (ou que há comportamentos contraditórios), o que demonstra que o limite não existe.
Passo 2
Conceito e estratégia (explicação didática).
- Definição intuitiva: dizemos que
se, ao aproximar de por qualquer maneira (qualquer sequência ou caminho), os valores ficam tão próximos de quanto quisermos. - Consequência prática: para mostrar que o limite não existe basta encontrar duas maneiras de aproximar
que produzam dois comportamentos diferentes (por exemplo, um caminho dá um valor finito e outro dá , ou um caminho dá um valor finito e outro diverge para infinito, etc.). - Ferramenta simples: testar caminhos particulares, por exemplo retas
, a abscissa , a ordenada , ou sequências concretas . Se qualquer um desses testes produzir resultados incompatíveis, o limite não existe.
Passo 3
Avaliação do caminho
.
- Substituindo
em obtemos
- Ao levar
com , os valores de permanecem iguais a . Logo, ao aproximar pela reta o limite é . Em notação de sequência, por exemplo tomando temos para todo e portanto
Passo 4
Avaliação do caminho
.
- Substituindo
em obtemos
- Quando
, o fator tende a . Portanto quando . Em termos de sequência, tomando temos
- Conclusão parcial: ao aproximar
pela reta a função fica arbitrariamente grande (tende a ), isto é, não se aproxima de um número finito.
Passo 5
Observação adicional (variação de sinal em outros caminhos).
- Se aproximarmos por
, temos
- Assim há caminhos que levam a
, outros que levam a , e ainda caminhos (como ) que dão . Esses comportamentos são incompatíveis entre si.
Passo 6
Conclusão final lógica.
- Para que exista um limite finito
em , os valores de ao aproximar por qualquer caminho teriam de tender ao mesmo número . Aqui encontramos um caminho ( ) que dá limite e outro ( ) que faz . Portanto não existe um único número que seja limite em todos os caminhos. - Logo, o limite pedido não existe.
Resposta
Não existe.