Mostre que os limites abaixo não existem.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{3 x y}{5 x^{4}+2 y^{4}}

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos.
  • Pede-se mostrar que o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{3xy}{5x^{4}+2y^{4}}
não existe.
  • A função dada é f(x,y)=\dfrac{3xy}{5x^{4}+2y^{4}}, definida para (x,y)\neq(0,0) (no ponto (0,0) a expressão é indefinida).
  • Objetivo: provar que, ao nos aproximarmos de (0,0) por diferentes caminhos, não se obtém um mesmo valor finito (ou que há comportamentos contraditórios), o que demonstra que o limite não existe.

Passo 2

Conceito e estratégia (explicação didática).
  • Definição intuitiva: dizemos que \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=L se, ao aproximar (x,y) de (0,0) por qualquer maneira (qualquer sequência ou caminho), os valores f(x,y) ficam tão próximos de L quanto quisermos.
  • Consequência prática: para mostrar que o limite não existe basta encontrar duas maneiras de aproximar (0,0) que produzam dois comportamentos diferentes (por exemplo, um caminho dá um valor finito L_1 e outro dá L_2\neq L_1, ou um caminho dá um valor finito e outro diverge para infinito, etc.).
  • Ferramenta simples: testar caminhos particulares, por exemplo retas y=kx, a abscissa y=0, a ordenada x=0, ou sequências concretas (x_n,y_n)\to(0,0). Se qualquer um desses testes produzir resultados incompatíveis, o limite não existe.

Passo 3

Avaliação do caminho y=0.
  • Substituindo y=0 em f obtemos
f(x,0)=\frac{3x\cdot 0}{5x^{4}+2\cdot 0^{4}}=\frac{0}{5x^{4}}=0\quad\text{para }x\neq0.
  • Ao levar x\to0 com y=0, os valores de f(x,0) permanecem iguais a 0. Logo, ao aproximar (0,0) pela reta y=0 o limite é 0. Em notação de sequência, por exemplo tomando (x_n,y_n)=(1/n,0) temos f(x_n,y_n)=0 para todo n e portanto
\lim_{n\to\infty} f(x_n,y_n)=0.

Passo 4

Avaliação do caminho y=x.
  • Substituindo y=x em f obtemos
f(x,x)=\frac{3x\cdot x}{5x^{4}+2x^{4}}=\frac{3x^{2}}{7x^{4}}=\frac{3}{7}\cdot\frac{1}{x^{2}}\quad\text{para }x\neq0.
  • Quando x\to0, o fator \dfrac{1}{x^{2}} tende a +\infty. Portanto f(x,x)\to +\infty quando x\to0. Em termos de sequência, tomando (x_n,y_n)=(1/n,1/n) temos
f(x_n,y_n)=\frac{3}{7}n^{2}\to +\infty\quad\text{quando }n\to\infty.
  • Conclusão parcial: ao aproximar (0,0) pela reta y=x a função fica arbitrariamente grande (tende a +\infty), isto é, não se aproxima de um número finito.

Passo 5

Observação adicional (variação de sinal em outros caminhos).
  • Se aproximarmos por y=-x, temos
f(x,-x)=\frac{3x(-x)}{5x^{4}+2x^{4}}=\frac{-3x^{2}}{7x^{4}}=-\frac{3}{7}\cdot\frac{1}{x^{2}}\to -\infty\quad\text{quando }x\to0.
  • Assim há caminhos que levam a +\infty, outros que levam a -\infty, e ainda caminhos (como y=0) que dão 0. Esses comportamentos são incompatíveis entre si.

Passo 6

Conclusão final lógica.
  • Para que exista um limite finito L em (0,0), os valores de f(x,y) ao aproximar (0,0) por qualquer caminho teriam de tender ao mesmo número L. Aqui encontramos um caminho ( y=0) que dá limite 0 e outro ( y=x) que faz f(x,y)\to+\infty. Portanto não existe um único número L que seja limite em todos os caminhos.
  • Logo, o limite pedido não existe.

Resposta

Não existe.

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