Resolva as equações diferenciais:
y^{\prime}=x+5 y.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
y' = x + 5y
e pede para encontrar a solução geral y(x).
Informações importantes fornecidas:
  • A equação relaciona a derivada de y com x e y.
  • Não há condições iniciais; portanto, queremos a solução geral com constante arbitrária.

Passo 2

Colocar a equação na forma linear padrão é útil para aplicarmos métodos conhecidos. A forma padrão de uma equação linear de primeira ordem é
y' + P(x)\,y = Q(x).
Reescrevendo a equação dada,
y' - 5y = x.

Passo 3

Antes de achar uma solução particular, vamos achar a solução da equação homogênea associada (ou seja, com Q(x)=0):
y' - 5y = 0.
Esta é uma equação separável. Tratando y como função de x:
\frac{dy}{dx} = 5y.
Separamos variáveis e integramos:
\frac{1}{y}\,dy = 5\,dx.
Integrando ambos os lados,
\ln|y| = 5x + C_1.
Exponenciando,
y = C e^{5x},
onde C é uma constante arbitrária. Esta é a solução da homogênea, que chamaremos de y_h(x)=C e^{5x}.

Passo 4

Para encontrar uma solução particular y_p(x) da equação completa, usaremos o método do fator integrante (é um método padrão e direto para equações lineares de primeira ordem). Na forma padrão y' + P(x)y = Q(x) o fator integrante é
\mu(x) = e^{\int P(x)\,dx}.
Aqui P(x) = -5. Então
\mu(x) = e^{\int -5\,dx} = e^{-5x}.

Passo 5

Multiplicamos a equação original por \mu(x). Começamos da forma y' -5y = x e multiplicamos por e^{-5x}:
e^{-5x}y' - 5e^{-5x}y = x e^{-5x}.
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto e^{-5x}y; isto é,
\frac{d}{dx}\bigl(e^{-5x}y\bigr) = x e^{-5x}.
Portanto precisamos integrar ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\bigl(e^{-5x}y\bigr)\,dx = \int x e^{-5x}\,dx.
Daí
e^{-5x}y = \int x e^{-5x}\,dx + C,
onde C é constante de integração.

Passo 6

Calcular \int x e^{-5x}\,dx por partes. Seja
u = x,\qquad dv = e^{-5x}\,dx.
Então
du = dx,\qquad v = \int e^{-5x}\,dx = -\frac{1}{5}e^{-5x}.
A fórmula de integração por partes diz \int u\,dv = uv - \int v\,du. Assim
\int x e^{-5x}\,dx = x\left(-\frac{1}{5}e^{-5x}\right) - \int \left(-\frac{1}{5}e^{-5x}\right)\,dx.
Isso é
\int x e^{-5x}\,dx = -\frac{x}{5}e^{-5x} + \frac{1}{5}\int e^{-5x}\,dx.
Calculando a última integral:
\int e^{-5x}\,dx = -\frac{1}{5}e^{-5x}.
Substituindo:
\int x e^{-5x}\,dx = -\frac{x}{5}e^{-5x} + \frac{1}{5}\left(-\frac{1}{5}e^{-5x}\right) + C_2.
Simplificando:
\int x e^{-5x}\,dx = -e^{-5x}\left(\frac{x}{5} + \frac{1}{25}\right) + C_2.

Passo 7

Voltando à expressão para e^{-5x}y,
e^{-5x}y = -e^{-5x}\left(\frac{x}{5} + \frac{1}{25}\right) + C,
onde juntei constantes C_2 e a anterior em uma só C. Multiplicando ambos os lados por e^{5x} para isolar y:
y = -\left(\frac{x}{5} + \frac{1}{25}\right) + C e^{5x}.
Podemos reescrever o termo particular de forma mais clara:
y_p(x) = -\frac{x}{5} - \frac{1}{25},
e a solução geral é soma da homogênea com a particular:
y(x) = C e^{5x} - \frac{x}{5} - \frac{1}{25},
onde C é constante arbitrária.

Passo 8

Cheque rápido (verificação): calcular y' a partir da solução e ver se satisfaz a equação
y' = x + 5y.
Derivando y(x)=C e^{5x} - \dfrac{x}{5} - \dfrac{1}{25}
y' = 5C e^{5x} - \frac{1}{5}.
Calcular x+5y:
x + 5y = x + 5\left(C e^{5x} - \frac{x}{5} - \frac{1}{25}\right) = 5C e^{5x} + x - x - \frac{1}{5} = 5C e^{5x} - \frac{1}{5}.
Portanto y' = x + 5y é satisfeito, verificação concluída.

Resposta

y(x)=C e^{5x}-\frac{x}{5}-\frac{1}{25}

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