Resolva as equações diferenciais:
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
e pede para encontrar a solução geral
.
Informações importantes fornecidas:
Informações importantes fornecidas:
- A equação relaciona a derivada de
com e . - Não há condições iniciais; portanto, queremos a solução geral com constante arbitrária.
Passo 2
Colocar a equação na forma linear padrão é útil para aplicarmos métodos conhecidos. A forma padrão de uma equação linear de primeira ordem é
Reescrevendo a equação dada,
Passo 3
Antes de achar uma solução particular, vamos achar a solução da equação homogênea associada (ou seja, com
):
Esta é uma equação separável. Tratando
como função de
:
Separamos variáveis e integramos:
Integrando ambos os lados,
Exponenciando,
onde
é uma constante arbitrária. Esta é a solução da homogênea, que chamaremos de
.
Passo 4
Para encontrar uma solução particular
da equação completa, usaremos o método do fator integrante (é um método padrão e direto para equações lineares de primeira ordem). Na forma padrão
o fator integrante é
Aqui
. Então
Passo 5
Multiplicamos a equação original por
. Começamos da forma
e multiplicamos por
:
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
; isto é,
Portanto precisamos integrar ambos os lados em relação a
:
Daí
onde
é constante de integração.
Passo 6
Calcular
por partes. Seja
Então
A fórmula de integração por partes diz
. Assim
Isso é
Calculando a última integral:
Substituindo:
Simplificando:
Passo 7
Voltando à expressão para
,
onde juntei constantes
e a anterior em uma só
. Multiplicando ambos os lados por
para isolar
:
Podemos reescrever o termo particular de forma mais clara:
e a solução geral é soma da homogênea com a particular:
onde
é constante arbitrária.
Passo 8
Cheque rápido (verificação): calcular
a partir da solução e ver se satisfaz a equação
Derivando
dá
Calcular
:
Portanto
é satisfeito, verificação concluída.