Verifique se a sequência é crescente, decrescente, não monótona, limitada inferiormente, limitada superiormente e/ou limitada.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede para verificar, para
:
- se é crescente, decrescente ou não monótona;
- se é limitada inferiormente;
- se é limitada superiormente;
- se é limitada (simultaneamente limitada inferiormente e superiormente).
Informação dada explicitamente: a fórmula do termo geral é
para
.
Passo 2
Primeiro simplificar o termo geral, para ficar mais fácil de trabalhar. Faço a divisão do numerador por
:
Explicação curta: dividir cada termo do numerador por
dá
e
. Essa forma é mais intuitiva para ver o crescimento quando
aumenta.
Passo 3
Definições importantes (explicadas de forma direta):
- Uma sequência
é estritamente crescente se, para todo , vale . É crescente (não estrita) se . - É estritamente decrescente se
. - É limitada inferiormente se existe
tal que para todo . - É limitada superiormente se existe
tal que para todo . - É (globalmente) limitada se for limitada inferiormente e superiormente ao mesmo tempo.
Método prático para monotonicidade: calcular a diferença
. Se for positiva para todo
, a sequência é estritamente crescente.
Passo 4
Calcular a diferença
passo a passo usando a forma simplificada
:
Agora simplifico termo a termo:
Colocando na mesma fração a parte
:
Portanto
Como
implica
, temos
. Logo
Conclusão dessa etapa: para todo
vale
, ou seja, a sequência é estritamente crescente. (Comentário amigo: é bastante positivo — literalmente — a diferença é sempre maior que 2, então os termos crescem rápido.)
Passo 5
Da monotonicidade para limitar inferior: se uma sequência é crescente e tem termo inicial
, então todo termo
com
satisfaz
. Calculo
:
Portanto, para todo
tem
. Isso mostra que a sequência é limitada inferiormente (por exemplo, por
). Observação: qualquer número menor ou igual a
que seja ≤ todos os
também é um limitante inferior;
é o menor valor da sequência (mínimo), porque a sequência é crescente começando em
.
Passo 6
Mostrar que não é limitada superiormente. Usando a forma
, fica evidente que conforme
aumenta o termo principal é
, que cresce sem limite. Formalmente:
porque o termo
tende a
e
tende a
. Outra observação simples e rigorosa: para
,
portanto
. Assim não existe
real tal que
para todo
. Conclusão: a sequência não é limitada superiormente.
Passo 7
Síntese final e interpretação amigável:
- A sequência é estritamente crescente (cada termo é maior que o anterior).
- Como cresce sem limite superior (vai para
), não é limitada superiormente e, portanto, não é limitada no sentido global. - Porém é limitada inferiormente: tem mínimo em
.
Força aí nos estudos — essa era uma questão que, depois de ver a transformação para
e calcular a diferença, vira questão de contar até 2 e ver que cresce sem parar. Vai dar certo!
Resposta
Crescente: sim, estritamente crescente.
Decrescente: não.
Não monótona: não.
Limitada inferiormente: sim (por exemplo por ).
Limitada superiormente: não.
Limitada: não.
Decrescente: não.
Não monótona: não.
Limitada inferiormente: sim (por exemplo por
Limitada superiormente: não.
Limitada: não.