Verifique se a sequência é crescente, decrescente, não monótona, limitada inferiormente, limitada superiormente e/ou limitada.
\left\{\frac{2 n^{2}-1}{n}\right\}_{n=2}^{\infty}

Passo 1

O enunciado dá a sequência \left\{\frac{2 n^{2}-1}{n}\right\}_{n=2}^{\infty} e pede para verificar, para n\ge2:
  • se é crescente, decrescente ou não monótona;
  • se é limitada inferiormente;
  • se é limitada superiormente;
  • se é limitada (simultaneamente limitada inferiormente e superiormente).
Informação dada explicitamente: a fórmula do termo geral é \displaystyle a_n=\frac{2 n^{2}-1}{n} para n=2,3,4,\dots.

Passo 2

Primeiro simplificar o termo geral, para ficar mais fácil de trabalhar. Faço a divisão do numerador por n:
a_n=\frac{2 n^{2}-1}{n}=2n-\frac{1}{n}.
Explicação curta: dividir cada termo do numerador por n 2n e -1/n. Essa forma é mais intuitiva para ver o crescimento quando n aumenta.

Passo 3

Definições importantes (explicadas de forma direta):
  • Uma sequência \{a_n\} é estritamente crescente se, para todo n, vale a_{n+1}>a_n. É crescente (não estrita) se a_{n+1}\ge a_n.
  • É estritamente decrescente se a_{n+1}<a_n.
  • É limitada inferiormente se existe m\in\mathbb{R} tal que a_n\ge m para todo n.
  • É limitada superiormente se existe M\in\mathbb{R} tal que a_n\le M para todo n.
  • É (globalmente) limitada se for limitada inferiormente e superiormente ao mesmo tempo.
Método prático para monotonicidade: calcular a diferença a_{n+1}-a_n. Se for positiva para todo n\ge2, a sequência é estritamente crescente.

Passo 4

Calcular a diferença a_{n+1}-a_n passo a passo usando a forma simplificada a_n=2n-\dfrac{1}{n}:
a_{n+1}-a_n=\left(2(n+1)-\frac{1}{n+1}\right)-\left(2n-\frac{1}{n}\right).
Agora simplifico termo a termo:
a_{n+1}-a_n=2+ \left(-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n}\right).
Colocando na mesma fração a parte \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}:
\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{n+1-n}{n(n+1)}=\frac{1}{n(n+1)}.
Portanto
a_{n+1}-a_n=2+\frac{1}{n(n+1)}.
Como n\ge2 implica n(n+1)>0, temos \dfrac{1}{n(n+1)}>0. Logo
a_{n+1}-a_n=2+\frac{1}{n(n+1)}>2>0.
Conclusão dessa etapa: para todo n\ge2 vale a_{n+1}-a_n>0, ou seja, a sequência é estritamente crescente. (Comentário amigo: é bastante positivo — literalmente — a diferença é sempre maior que 2, então os termos crescem rápido.)

Passo 5

Da monotonicidade para limitar inferior: se uma sequência é crescente e tem termo inicial a_2, então todo termo a_n com n\ge2 satisfaz a_n\ge a_2. Calculo a_2:
a_2=2\cdot 2-\frac{1}{2}=4-\frac{1}{2}=\frac{7}{2}.
Portanto, para todo n\ge2 tem a_n\ge \dfrac{7}{2}. Isso mostra que a sequência é limitada inferiormente (por exemplo, por m=\dfrac{7}{2}). Observação: qualquer número menor ou igual a \dfrac{7}{2} que seja ≤ todos os a_n também é um limitante inferior; \dfrac{7}{2} é o menor valor da sequência (mínimo), porque a sequência é crescente começando em n=2.

Passo 6

Mostrar que não é limitada superiormente. Usando a forma a_n=2n-\dfrac{1}{n}, fica evidente que conforme n aumenta o termo principal é 2n, que cresce sem limite. Formalmente:
\lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty}\left(2n-\frac{1}{n}\right)=+\infty,
porque o termo 2n tende a +\infty e -1/n tende a 0. Outra observação simples e rigorosa: para n\ge2,
a_n=2n-\frac{1}{n}>2n-1\ge n,
portanto a_n\to\infty. Assim não existe M real tal que a_n\le M para todo n. Conclusão: a sequência não é limitada superiormente.

Passo 7

Síntese final e interpretação amigável:
  • A sequência é estritamente crescente (cada termo é maior que o anterior).
  • Como cresce sem limite superior (vai para +\infty), não é limitada superiormente e, portanto, não é limitada no sentido global.
  • Porém é limitada inferiormente: tem mínimo em a_2=\dfrac{7}{2}.
Força aí nos estudos — essa era uma questão que, depois de ver a transformação para 2n-\tfrac{1}{n} e calcular a diferença, vira questão de contar até 2 e ver que cresce sem parar. Vai dar certo!

Resposta

Crescente: sim, estritamente crescente.
Decrescente: não.
Não monótona: não.
Limitada inferiormente: sim (por exemplo por \dfrac{7}{2}).
Limitada superiormente: não.
Limitada: não.

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