Calcule os seguintes Limites, se existirem, e verifique se há assintota vertical. Caso o limite não exista, diga por quê.
lim x 2^+ x^2+3 xx^2-4

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite unilaterial
limxto2^+x^2+3xx^2-4
e verificar se existe assíntota vertical. O conteúdo aqui é análise de limite de função racional perto de ponto em que o denominador se anula.

Passo 2

Note que o denominador se fatoriza como
x^2-4=(x-2)(x+2)
Ao nos aproximarmos de x=2 pela direita, temos:
  • O numerador tende a
2^2+3cdot2=4+6=10>0
  • O fator x-2 é positivo e tende a 0^+.
  • O fator x+2 tende a 4>0.
    Logo o denominador é um produto de algo que tende a 0^+ por algo que tende a 4, ou seja, tende a 0^+. Com numerador positivo e denominador positivo pequeno, a fração cresce sem limite. Portanto
limxto2^+x^2+3xx^2-4=+infty

Passo 3

Como o limite lateral diverge para +infty ao aproximar x=2, a reta vertical definida por
x=2
é uma assíntota vertical da função.

Resposta

limxto2^+x^2+3xx^2-4=+infty.
Há assíntota vertical em x=2.

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