Exercício 2. Esboce as regiões de integração e determine o valor de cada uma das integrais duplas abaixo.
integral duplaD 2 yx^2+1 d A, com D=(x, y) in R^2 ; 0 <= x <= 1,0 <= y <= raizx;

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região
D=(x,y)inR^2mid 0<= x<=1,;0<= y<=raizx
e calcular a integral dupla
integral duplaD2yx^2+1,dA
Vamos usar o Teorema de Fubini para reduzir a integral dupla a iteradas.

Passo 2

A região D está no primeiro quadrante, limitada por:
– a reta y=0 (eixo x),
– a reta vertical x=1,
– e a curva y=raizx.
Esboço mental: é a área abaixo da parábola y^2=x, entre x=0 e x=1.

Passo 3

Como 0<= y<=raizx para cada xin[0,1], escrevemos
integral duplaD2yx^2+1,dA =integralx=0^1!integraly=0^raizx2yx^2+1,dy,dx

Passo 4

Calculemos primeiro a integral interna em y:
integral0^raizx2y,dy =ly^2r|0^raizx =(raizx)^2-0=x
Assim a integral fica
integral0^1xx^2+1,dx

Passo 5

Para integral0^1xx^2+1,dx use a substituição
u=x^2+1, du=2x,dx. Então
integral0^1xx^2+1,dx =12integralu=1^21u,du =12l[ln ur]1^2 =12ln2

Resposta

12ln2

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