Exercício 2. Esboce as regiões de integração e determine o valor de cada uma das integrais duplas abaixo.
integral duplaD x^3 y^2 d A, com D=(x, y) in R^2 ; 0 <= x <= 2,-x <= y <= x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaD x^3y^2,dA
onde
D=(x,y)inR^2mid 0<= x<= 2,,-x<= y<= x.
O conteúdo utilizado será integração iterada em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Primeiro, esboçamos a região D. Para cada x entre 0 e 2, o y varia de -x até x.
Isso forma um triângulo em que a base está ao longo de x-eixo de x=0 a x=2 e os lados são as retas y=x e y=-x.

Passo 3

Convertendo em uma integral iterada, temos
integral duplaD x^3y^2,dA =integralx=0^2gl(integraly=-x^xx^3y^2,dygr)dx

Passo 4

Calculamos primeiro a integral interna em y:
integral-x^xx^3y^2,dy =x^3integral-x^xy^2,dy =x^3cdot2x^33 =2x^63

Passo 5

Agora integramos em x:
integral0^22x^63,dx =23integral0^2x^6,dx =23cdotx^77g|0^2 =23cdot2^77 =25621

Resposta

25621

Exercícios relacionados