Calcule os seguintes Limites, se existirem, e verifique se há assintota vertical. Caso o limite não exista, diga por quê.
lim x 1^+ x^3-1x^2-2 x+1

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limxto1^+x^3-1x^2-2x+1
e verificar se há assíntota vertical em x=1. Vamos usar fatoração e análise de sinal para limites infinitos.

Passo 2

Fatoramos numerador e denominador:
x^3-1=(x-1)(x^2+x+1),
x^2-2x+1=(x-1)^2
Logo, para xneq1,
x^3-1x^2-2x+1 =(x-1)(x^2+x+1)(x-1)^2 =x^2+x+1x-1

Passo 3

Ao aproximar xto1^+, o numerador tende a
x^2+x+1;longrightarrow;3
e o denominador tende a
x-1;longrightarrow;0^+
Como estamos dividindo um valor próximo de 3 por algo que vai a 0 pela direita, o quociente cresce sem limite, isto é, tende a +infty:
limxto1^+x^2+x+1x-1=+infty

Passo 4

O fato de o limite lateral divergir para +infty indica a existência de uma assíntota vertical na reta x=1.

Resposta

limxto1^+x^3-1x^2-2x+1=+infty.
Há assíntota vertical em x=1.

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