Exercício 4. Utilize a integral dupla para determinar a área das regiões D dadas abaixo.
D é a região limitada pelas curvas y=x^3 e y=4 x restrita ao primeiro quadrante;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área da região D no primeiro quadrante, limitada pelas curvas y = x^3 e y = 4x. O conteúdo a usar é integral dupla para área, ou seja,
Área(D) = integral duplaD dA, Á
que em coordenadas cartesianas vira uma integral iterada com os limites adequados.

Passo 2

Primeiro, encontramos onde x^3 e 4x se cruzam:
x^3 = 4x Longrightarrow x(x^2 - 4) = 0 Longrightarrow x = 0,;pm 2
No primeiro quadrante só interessa x=0 e x=2. Para 0 <= x <= 2, tem-se x^3 <= 4x.

Passo 3

Montamos a integral iterada em x de 0 a 2 e em y de y = x^3 até y = 4x:
Área(D) = integralx=0^2!integraly=x^3^4x dy,dx = integral0^2 l(4x - x^3r),dx Á

Passo 4

Calculamos a integral em x:
integral0^2 (4x - x^3),dx = [2x^2 - x^44]0^2 = l(2cdot 2^2 - 2^44r) - 0 = l(8 - 4r) = 4

Resposta

A área da região D é 4.

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