Calcule os seguintes Limites, se existirem, e verifique se há assintota vertical. Caso o limite não exista, diga por quê.
lim x 23^+ x^24-9 x^2

Passo 1

O enunciado pede o limite lateral
limxto23^+x^24-9x^2
e, em seguida, verificar se há assíntota vertical. O conteúdo é limites que tendem a infinito e identificação de assíntotas verticais.

Passo 2

Observamos que o denominador zera quando
4-9x^2=0 Longrightarrow x=pm23,
portanto em x=tfrac23 a função não está definida e pode ocorrer uma assíntota vertical.

Passo 3

Para x to tfrac23^+, tomamos x=tfrac23+varepsilon com varepsilon>0 pequeno. Então
4-9x^2 =4-9l(tfrac23+varepsilonr)^2 =4-9l(tfrac49+ tfrac43varepsilon+O(varepsilon^2)r) =-12,varepsilon+O(varepsilon^2)
Logo, ao aproximar pela direita, o denominador tende a 0 pela esquerda (é negativo) e o numerador
x^2=l(tfrac23+varepsilonr)^2 to49>0

Passo 4

Como numerador to49>0 e denominador to0^-, o quociente diverge para -infty. Portanto
limxto23^+x^24-9x^2 =-infty

Resposta

-infty, e há assíntota vertical em x=tfrac23.

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