Calcule os seguintes Limites, se existirem, e verifique se há assintota vertical. Caso o limite não exista, diga por quê.
lim x 1^+ 2 x+3x^2-1

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite unilateral \r
limxto1^+2x+3x^2-1 \r
e a identificação de eventual assíntota vertical. Para isso vamos usar fatoração do denominador e análise do sinal de cada fator ao nos aproximarmos de x=1 pela direita.

Passo 2

Fatoramos o denominador \r
x^2 - 1 = (x-1)(x+1) \r
Quando xto1^+, o fator (x-1) tende a 0 por valores positivos (pois estamos à direita de 1), e o fator (x+1) tende a 2, também positivo. Logo o denominador tende a 0^+.

Passo 3

O numerador 2x+3 é contínuo em x=1, então \r
2x+3 ;longrightarrow; 2cdot1+3 = 5, \r
um valor finito e positivo.

Passo 4

Como o numerador tende a 5>0 e o denominador tende a 0^+, o quociente cresce sem limite, ou seja \r
limxto1^+2x+3x^2-1 = +infty

Passo 5

Quando um limite unilateral de uma função diverge para pminfty em x=a, dizemos que x=a é uma assíntota vertical. Aqui, temos assíntota vertical em x=1.

Resposta

limxto1^+2x+3x^2-1 = +infty,
há assíntota vertical em x=1.

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