Mostre que
se, e somente se
. Existe alguma sequência
divergente tal que
seja convergente?
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos uma sequência real
e queremos mostrar que
Vamos usar a definição de limite de sequência e o fato de que
. Depois, daremos um exemplo de sequência divergente cujo módulo converge.
Passo 2
Suponha
. Então, dado
, existe
tal que para todo
Como
, segue que para
o que prova
.
Passo 3
Agora suponha
. Então, dado
, existe
tal que para todo
Mas
e também
, logo para
o que mostra
.
Passo 4
Para ver que pode ocorrer divergência de
com convergência de
, tome por exemplo
Essa sequência não converge (oscila entre
e
), mas
para todo
, logo
.
Resposta
Mostramos que
se, e somente se,
.
Um exemplo de sequência divergente com convergente é
, cuja sequência de módulos converge para
.
Um exemplo de sequência divergente com