Mostre que lim an=0 se, e somente se lim |an|=0. Existe alguma sequência an divergente tal que |an| seja convergente?

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos uma sequência real (an) e queremos mostrar que
limntoinftyan = 0 Long<=ftrightarrow limntoinfty|an| = 0
Vamos usar a definição de limite de sequência e o fato de que lvert anrvert=lvert an-0rvert. Depois, daremos um exemplo de sequência divergente cujo módulo converge.

Passo 2

Suponha limntoinftyan=0. Então, dado varepsilon>0, existe N tal que para todo n>N
|an-0|<varepsilon
Como |an-0|=|an|, segue que para n>N
|,|an|-0|=|an|<varepsilon,
o que prova limntoinfty|an|=0.

Passo 3

Agora suponha limntoinfty|an|=0. Então, dado varepsilon>0, existe M tal que para todo n>M
|,|an|-0|<varepsilon
Mas |,|an|-0|=|an| e também |an-0|=|an|, logo para n>M
|an-0|<varepsilon,
o que mostra limntoinftyan=0.

Passo 4

Para ver que pode ocorrer divergência de (an) com convergência de (|an|), tome por exemplo
an = (-1)^n
Essa sequência não converge (oscila entre -1 e 1), mas
|an| = 1
para todo n, logo limntoinfty|an|=1.

Resposta

Mostramos que limntoinftyan=0 se, e somente se, limntoinfty|an|=0.
Um exemplo de sequência divergente com lim|an| convergente é an=(-1)^n, cuja sequência de módulos converge para 1.

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